Функция Розенброка

Функция Розенброка (англ. Rosenbrock function, Rosenbrock's valley, Rosenbrock's banana function) — невыпуклая функция, используемая для оценки производительности алгоритмов оптимизации, предложенная Ховардом Розенброком^[англ.] в 1960 году^[1]. Считается, что поиск глобального минимума для данной функции является нетривиальной задачей.

График функции Розенброка для двух переменных. Глобальный минимум перенесён в точку (1,1).

Является примером тестовой функции для локальных методов оптимизации. Имеет минимум 0 в точке (1,1)^[2].

Каноническое определение

Значение функции Розенброка для двух переменных в окрестности точки ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$.

Функция Розенброка для двух переменных определяется как:

${\displaystyle f(x,y)=(1-x)^{2}+100(y-x^{2})^{2}.\quad }$

Она имеет глобальный минимум в точке ${\displaystyle (x,y)=(1,1)}$ где ${\displaystyle f(x,y)=0}$.

Многомерное обобщение

Встречаются два классических варианта многомерного обобщения функции Розенброка.

В первом случае, как сумма ${\displaystyle N/2}$ несвязанных двумерных функций Розенброка:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})=\sum _{i=1}^{N/2}\left[100(x_{2i-1}^{2}-x_{2i})^{2}+(x_{2i-1}-1)^{2}\right].}$^[3]

Более сложным вариантом является:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{N-1}\left[(1-x_{i})^{2}+100(x_{i+1}-x_{i}^{2})^{2}\right]\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{N}.}$^[4]

Существует также вероятностное обобщение функции Розенброка, предложенное англ. Xin-She Yang^[5]:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n-1}{\Big [}(1-x_{i})^{2}+100\epsilon _{i}(x_{i+1}-x_{i}^{2})^{2}{\Big ]},}$

где случайные переменные ${\displaystyle \epsilon _{i}(i=1,2,...,n-1)}$ являются равномерно распределёнными Unif(0,1).

См. также

• Градиентный спуск
• Метод Нелдера — Мида