Целочисленная матрица

В математике целочисленной матрицей называется матрица, элементы которой являются целыми числами. Целочисленными являются, например, бинарные матрицы, нулевая матрица, матрица единиц, единичная матрица и матрица смежности. Целочисленные матрицы часто применяются в комбинаторике и, в частности, в теории графов.

Примеры

Матрицы ${\displaystyle \left({\begin{array}{cccr}5&2&6&0\\4&7&3&8\\5&9&0&4\\3&1&0&-3\\9&0&2&1\end{array}}\right)}$ и ${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&5&0\\0&9&2\\1&7&3\end{array}}\right)}$ являются целочисленными.

Свойства

• Определитель целочисленной матрицы является целым числом.
• Матрица, обратная целочисленной матрице ${\displaystyle M}$, является целочисленной тогда и только тогда, когда определитель ${\displaystyle M}$ равен ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle -1}$. Такие матрицы называются унимодулярными.
  • Целочисленные матрицы с определителем, равным ${\displaystyle 1}$, образуют специальную линейную группу ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {Z} )}$, которая используется в арифметике и геометрии. При ${\displaystyle n=2}$ она тесно связана с модулярной группой.
• Характеристический многочлен целочисленной матрицы имеет целочисленные коэффициенты.
  • В частности, собственные числа матрицы являются целыми алгебраическими числами.

Внешние ссылки

• Integer Matrix at MathWorld