Центральный биномиальный коэффициент

В математике n-й центральный биномиальный коэффициент определяется следующим выражением в терминах биномиальных коэффициентов

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}}$ для всех ${\displaystyle n\geq 0}$.

Они получили своё название в связи с тем, что они находятся в точности посередине чётных рядов в треугольнике Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов выписаны ниже, начиная с n = 0:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … последовательность A000984 в OEIS

Свойства

Производящая функция:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .}$

По формуле Стирлинга получаем:

${\displaystyle {2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.

Полезные ограничения:

${\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}}}$ для каждого ${\displaystyle n\geq 1}$

Если нужна большая точность:

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)}$ где ${\displaystyle {\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}}$ для всех ${\displaystyle n\geq 1}$.

С этим понятием тесно связаны т. н. числа Каталана, C_n. Их формула:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}}$ для каждого ${\displaystyle n\geq 0}$.

Обобщением центральных биномиальных коэффициентов можно считать числа ${\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}}$, для всех действительных n, при которых выражение определено, где ${\displaystyle \Gamma (x)}$ — это Гамма-функция, а ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$ это Бета-функция.

См. также

• Предположение Эрдёша о бесквадратности

Ссылки

• Центральный биномиальный коэффициент на PlanetMath (англ)
• Биномиальный коэффициент на PlanetMath (англ)
• Треугольник Паскаля на PlanetMath (англ)
• Числа Каталана на PlanetMath (англ)