Цепной комплекс

Цепно́й компле́кс и двойственное понятие коцепной комплекс — основные понятия гомологической алгебры.

Эти понятия первоначально использовались в алгебраической топологии для изучения топологических пространств. В гомологической алгебре рассматриваются как абстрактные алгебраические структуры, безотносительно к какому-либо топологическому пространству.

Для цепных комплексов определяются их группы гомологий (группы когомологий для коцепных комплексов). Цепные комплексы также могут быть определены в произвольной абелевой категории.

Определения

Цепным комплексом называется последовательность ${\displaystyle (K_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ модулей и гомоморфизмов ${\displaystyle \partial _{n}:K_{n}\to K_{n-1}}$, называемых граничными операторами или дифференциалами:

${\displaystyle \ldots {\xleftarrow {}}K_{n-1}{\xleftarrow {\partial _{n}}}K_{n}{\xleftarrow {\partial _{n+1}}}K_{n+1}{\xleftarrow {}}\ldots }$,

такая что ${\displaystyle \partial _{n}\partial _{n+1}=0}$. Элементы ${\displaystyle K_{n}}$ называются ${\displaystyle n}$-мерными цепями, элементы ядра ${\displaystyle Z_{n}K=\operatorname {Ker} \partial _{n}}$ — ${\displaystyle n}$-мерными циклами, элементы образа ${\displaystyle B_{n}K=\operatorname {Im} \partial _{n+1}}$ — ${\displaystyle n}$-мерными границами. Из ${\displaystyle \partial _{n}\partial _{n+1}=0}$ следует, что ${\displaystyle B_{n}K\subset Z_{n}K}$ (полуточность). Если к тому же ${\displaystyle B_{n}K=Z_{n}K}$, то такой комплекс называется точным.

Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с морфизмами ${\displaystyle \varphi _{\bullet }\colon (K_{\bullet },\partial _{\bullet }^{K})\to (L_{\bullet },\partial _{\bullet }^{L})}$, где ${\displaystyle \varphi _{\bullet }}$ последовательность морфизмов ${\displaystyle \varphi _{n}\colon K_{n}\to L_{n}}$, такая что ${\displaystyle \varphi _{n}}$ коммутирует с дифференциалом, то есть ${\displaystyle \partial _{n}^{L}\varphi _{n}=\varphi _{n-1}\partial _{n}^{K}}$.

Цепной комплекс также можно определить как градуированный модуль ${\displaystyle M_{*}}$, снабжённый дифференциалом ${\displaystyle \partial :M_{*}\to M_{*}}$ степени −1.

Также можно определить комплексы, состоящие из объектов произвольной абелевой категории, например, категории пучков абелевых групп.^[1]

Коцепной комплекс

Коцепной комплекс — понятие, двойственное цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей ${\displaystyle (\Omega ^{\bullet },d^{\bullet })}$ и гомоморфизмов ${\displaystyle d^{n}\colon \Omega ^{n}\to \Omega ^{n+1}}$, таких что

${\displaystyle d^{n+1}d^{n}=0}$

Коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью.

${\displaystyle \ldots {\xrightarrow {}}\Omega ^{n-1}{\xrightarrow {d^{n-1}}}\Omega ^{n}{\xrightarrow {d^{n}}}\Omega ^{n+1}{\xrightarrow {d^{n+1}}}\ldots }$

Свойства и понятия, связанные с коцепными комплексами, двойственны аналогичным понятиям и свойствам цепных комплексов.

Гомологии и когомологии

Основные статьи: Гомологии и Когомологии

n-мерная группа гомологий ${\displaystyle H_{n}}$ цепного комплекса ${\displaystyle (K_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ является его мерой точности в n-ом члене и определяется как

${\displaystyle H_{n}(K_{\bullet },\partial _{\bullet })=Z_{n}(K)/B_{n}(K)=\mathrm {Ker} \,\partial _{n}/\mathrm {Im} \,\partial _{n+1}}$. Для точного комплекса ${\displaystyle H_{n}=0}$

Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:

${\displaystyle H^{n}(\Omega ^{\bullet },d^{\bullet })=Z^{n}(\Omega )/B^{n}(\Omega )=\mathrm {Ker} \,d^{n}/\mathrm {Im} \,d^{n-1}}$

Гомоморфизмы цепных комплексов

Гомоморфизмом цепных комплексов ${\displaystyle (A^{\bullet },\delta ^{\bullet })}$ и ${\displaystyle (B^{\bullet },\gamma ^{\bullet })}$ называется такое отображение ${\displaystyle f\colon A_{n}\to B_{n},\forall n\in \mathbb {N} ,}$ что следующая диаграмма оказывается коммутативной:

Гомоморфизм цепных комплексов индуцирует гомоморфизм их групп гомологий.

Тензорное произведение комплексов и внутренний Hom

Если V = V${\displaystyle {}_{*}}$ и W = W${\displaystyle {}_{*}}$ — цепные комплексы, то их тензорное произведение ${\displaystyle V\otimes W}$ — это цепной комплекс, элементы степени i которого имеют вид

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\{j,k|j+k=i\}}V_{j}\otimes W_{k},}$

а дифференциал задаётся формулой

${\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b,}$

где a и b — произвольные однородные элементы V и W соответственно, а ${\displaystyle \left|a\right|}$ обозначает степень элемента a.

Это тензорное произведение позволяет снабдить категорию цепных комплексов K-модулей ${\displaystyle {\text{Ch}}_{K}}$ (для произвольного коммутативного кольца K) структурой симметричной моноидальной категории. Операция заузливания задаётся на разложимых тензорах формулой

${\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a}$.

Знак необходим для того, чтобы операция заузливания была гомоморфизмом цепных комплексов. Более того, в категории цепных комплексов K-модулей имеется внутренний Hom: для цепных комплексов V и W, внутренний Hom для V и W, обозначаемый hom(V,W), — это цепной комплекс, элементы степени n которого имеют вид ${\displaystyle \Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})}$, а дифференциал задаётся формулой

${\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))}$.

Имеется естественный изоморфизм

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))}$.

Цепная гомотопия

Основная статья: Цепная гомотопия

Цепная гомотопия ${\displaystyle D\colon X\to Y}$ между гомоморфизмами комплексов ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ — это такой гомоморфизм цепных комплексов ${\displaystyle (X^{\bullet },\partial ^{\bullet })}$ и ${\displaystyle (Y^{\bullet },\delta ^{\bullet })}$ степени +1 (то есть ${\displaystyle D_{k}\colon X_{k}\to Y_{k+1}}$), для которого

${\displaystyle \delta D+D\partial =g-f}$

${\displaystyle \delta _{k+1}D_{k}+D_{k-1}\partial _{k}=g_{k}-f_{k}}$

Для коцепных комплексов соответствующая коммутативная диаграмма имеет вид