Частичная геометрия

Пусть имеется структура инцидентности ${\displaystyle C=(P,L,I)}$, состоящая из точек ${\displaystyle P}$, прямых ${\displaystyle L}$ и флагов ${\displaystyle I\subseteq P\times L}$. Говорят, что точка ${\displaystyle p}$ инцидентна прямой ${\displaystyle l}$, если ${\displaystyle (p,l)\in I}$. Структура называется конечной частичной геометрией, если существуют целые числа ${\displaystyle s,t,\alpha \geq 1}$, такие, что:

• Для любой пары различных точек ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ существует максимум одна прямая, инцидентная обеим точкам.
• Каждая прямая инцидентна ${\displaystyle s+1}$ точкам.
• Каждая точка инцидентна ${\displaystyle t+1}$ прямым.
• Если точка ${\displaystyle p}$ и прямая ${\displaystyle l}$ не инцидентны, существует в точности ${\displaystyle \alpha }$ пар ${\displaystyle (q,m)\in I}$, таких, что ${\displaystyle p}$ инцидентна ${\displaystyle m}$, а ${\displaystyle q}$ инцидентна ${\displaystyle l}$.

Частичная геометрия с этими параметрами обозначается ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$.

Свойства

• Число точек задаётся формулой ${\displaystyle {\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$, а число прямых — формулой ${\displaystyle {\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$.
• Точечный граф^[1] структуры ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$ является сильно регулярным графом: ${\displaystyle srg((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha }},s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+1))}$.
• Частичные геометрии двойственны — двойственной структурой для ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$ является просто структура ${\displaystyle pg(t,s,\alpha )}$.

Частные случаи

• Обобщённые четырёхугольники — это в точности частичные геометрии ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$ с ${\displaystyle \alpha =1}$.
• Системы Штейнера — это в точности частичные геометрии ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$ с ${\displaystyle \alpha =s+1}$.

Обобщения

Частично линейное пространство^[англ.] ${\displaystyle S=(P,L,I)}$ порядка ${\displaystyle s,t}$ называется получастичной геометрией, если существуют целые числа ${\displaystyle \alpha \geq 1,\mu }$, такие, что:

• Если точка ${\displaystyle p}$ и прямая ${\displaystyle \ell }$ не инцидентны, существует либо ${\displaystyle 0}$, либо в точности ${\displaystyle \alpha }$ пар ${\displaystyle (q,m)\in I}$, таких, что ${\displaystyle p}$ инцидентна ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle q}$ инцидентна ${\displaystyle \ell }$.
• Любая пара неколлинеарных точек имеет в точности ${\displaystyle \mu }$ общих соседей.

Получастичная геометрия является частичной геометрией тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mu =\alpha (t+1)}$.

Легко показать, что граф коллинеарности^[1] такой геометрии строго регулярен с параметрами ${\displaystyle (1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\mu )}$.

Хороший пример такой геометрии получается, если взять аффинные точки ${\displaystyle PG(3,q^{2})}$ и только те прямые, которые пересекают плоскость на бесконечности в точке фиксированной подплоскости Бэра. Геометрия имеет параметры ${\displaystyle (s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))}$.