Частичный предел последовательности

Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf) последовательности.

Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.

Определения

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно ${\displaystyle +\infty }$ или ${\displaystyle -\infty }$.

Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую.^[1] Эти определения эквивалентны, так как точная грань множества предельных точек обязательно принадлежит этому множеству.

Обозначения

Нижний предел последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$:

• ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}}$ (в отечественной литературе);

• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}}$ (в иностранной литературе).

Верхний предел последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$:

• ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}}$ (в отечественной литературе);

• ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}}$ (в иностранной литературе).

Примеры

• ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}$

• ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }\left(-1\right)^{n}=-1}$

• ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }\left(-1\right)^{n}=+1}$

• ${\displaystyle \nexists \varliminf _{n\to \infty }n,\nexists \varlimsup _{n\to \infty }n}$ (в другой терминологии оба предела равны ${\displaystyle +\infty }$)

Свойства

• Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны^[a].
• У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$ допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
• Числовая последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ сходится к ${\displaystyle a}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }{x_{n}}=\varlimsup _{n\rightarrow \infty }{x_{n}}=a}$.
• Для любого наперёд взятого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ все элементы ограниченной числовой последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$, начиная с некоторого номера, зависящего от ${\displaystyle \varepsilon }$, лежат внутри интервала ${\displaystyle \left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}+\varepsilon \right)}$.
• Если за пределами интервала ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$, то интервал ${\displaystyle \left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n},\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}\right)}$ содержится в интервале ${\displaystyle \left(a,b\right)}$.
• Множество частичных пределов замкнуто.