Числа Бернулли

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел ${\displaystyle B_{0},B_{1},B_{2},\dots }$, впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{\binom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s},}$

Числители и знаменатели дроби чисел Бернулли составляют последовательность A027641 в OEIS и последовательность A027642 в OEIS соответственно;

${\displaystyle B_{0}=1}$

${\displaystyle B_{1}=-{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}}$

${\displaystyle B_{3}=0}$

${\displaystyle B_{4}=-{\frac {1}{30}}}$

${\displaystyle B_{5}=0}$

${\displaystyle B_{6}={\frac {1}{42}}}$

${\displaystyle B_{7}=0}$

${\displaystyle B_{8}=-{\frac {1}{30}}}$

${\displaystyle B_{9}=0}$

${\displaystyle B_{10}={\frac {5}{66}}}$

${\displaystyle B_{11}=0}$

${\displaystyle B_{12}=-{\frac {691}{2730}}}$

${\displaystyle B_{13}=0}$

${\displaystyle B_{14}={\frac {7}{6}}}$

${\displaystyle B_{15}=0}$

${\displaystyle B_{16}=-{\frac {3617}{510}}}$

${\displaystyle B_{17}=0}$

${\displaystyle B_{18}={\frac {43867}{798}}}$

${\displaystyle B_{19}=0}$

${\displaystyle B_{20}=-{\frac {174611}{330}}}$

${\displaystyle B_{22}={\frac {854513}{138}}}$

${\displaystyle B_{24}=-{\frac {236364091}{2730}}}$

${\displaystyle B_{26}={\frac {8553103}{6}}}$

${\displaystyle B_{28}=-{\frac {23749461029}{870}}}$

${\displaystyle B_{30}={\frac {8615841276005}{14322}}}$

${\displaystyle B_{32}=-{\frac {7709321041217}{510}}}$

${\displaystyle B_{34}={\frac {2577687858367}{6}}}$

${\displaystyle B_{36}=-{\frac {26315271553053477373}{1919190}}}$

${\displaystyle B_{38}={\frac {2929993913841559}{6}}}$

${\displaystyle B_{40}=-{\frac {261082718496449122051}{13530}}}$

${\displaystyle B_{42}={\frac {1520097643918070802691}{1806}}}$

${\displaystyle B_{44}=-{\frac {27833269579301024235023}{690}}}$

${\displaystyle B_{46}={\frac {596451111593912163277961}{282}}}$

${\displaystyle B_{48}=-{\frac {5609403368997817686249127547}{46410}}}$

${\displaystyle B_{50}={\frac {495057205241079648212477525}{66}}}$

где ${\displaystyle {\tbinom {k+1}{s}}={\tfrac {(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!}}}$ — биномиальный коэффициент.

Некоторые авторы указывают другие определения, однако в большинстве современных учебников даётся такое же определение, как и здесь. При этом ${\displaystyle B_{1}=-{\tfrac {1}{2}}}$. Часть авторов (например, трёхтомник Фихтенгольца) использует определение, которое отличается от этого только знаком ${\displaystyle B_{k}}$. Кроме того, так как за исключением ${\displaystyle B_{1}}$ все числа Бернулли с нечётным номером равны 0, некоторые авторы используют обозначение «${\displaystyle B_{n}}$» для ${\displaystyle B_{2n}}$ или ${\displaystyle |B_{2n}|}$.

Рекуррентная формула

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

${\displaystyle B_{0}=1,}$

${\displaystyle B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k+1}}B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} .}$

Свойства

Написана в 1713 году

• Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме ${\displaystyle B_{1}}$, равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
• Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли ${\displaystyle B_{n}(x)}$ при ${\displaystyle x=0}$:

${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0).}$

• Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
  • Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:

    ${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n},|x|<2\pi ,}$

    ${\displaystyle x\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi ,}$

    ${\displaystyle \operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2.}$

• Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при чётных s = 2k:

  ${\displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\,(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}.}$

А также

${\displaystyle B_{n}=-n\zeta (1-n)}$ для всех натуральных n > 1.

• ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}\,dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1}{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots .}$
• Порядок роста чисел Бернулли даётся следующей асимптотической формулой:

  ${\displaystyle |B_{n}|\sim {\frac {2\cdot n!}{(2\pi )^{n}}}}$ при чётных ${\displaystyle n\to \infty }$. Из формулы, написанной выше, следует равносильность этой асимптотики и равенства: ${\displaystyle \lim \limits _{k\to \infty }{\zeta (2k)}=1\;{\text{по}}\;k\in \mathbb {Z} }$.

Получение чисел Бернулли из дзета-функции Римана

• Теорема Штаудта-Клаузена утверждает, что ${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} .}$
  • Из неё, в частности, следует, что знаменатель дроби ${\displaystyle B_{2n}}$ есть произведение простых p таких, что p − 1 делит 2n.

Литература

• Бернуллиевы числа // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Абрамович В. Числа Бернулли // Квант. — 1974. — № 6. — С. 10—14.

Ссылки

• Генератор Чисел Бернулли