Числа Каллена

В математике числами Каллена называют натуральные числа вида ${\displaystyle n\cdot 2^{n}+1}$ (пишется C_n). Числа Каллена впервые были изучены ирландским математиком Джеймсом Калленом^[англ.] в 1905 году. Числа Каллена — это особый вид чисел Прота.

Свойства

В 1976 году Кристофер Хулей^[англ.] показал, что плотность последовательности положительных целых ${\displaystyle n\leq x}$, для которых C_n простое, есть o(x) для ${\displaystyle x\to \infty }$. В этом смысле почти все числа Каллена составные. В 1995 году доказательство Кристофера Хулея было переработано математиком Хирми Суяма, который показал, что оно также верно для любой последовательности чисел ${\displaystyle n\cdot 2^{n+a}+b}$ где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала ${\displaystyle n\cdot 2^{n}-1}$.

Все известные простые числа Каллена соответствуют n, равному:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 последовательность A005849 в OEIS.

Есть предположение, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.

По состоянию на 2025 год наибольшее известное простое число Каллена ${\displaystyle 6679881\cdot 2^{6679881}+1}$, это мегапростое число с 2 010 852 знаками было открыто участником проекта PrimeGrid из Японии 5 августа 2009 года^[1].

Числа Каллена C_n делятся на ${\displaystyle p=2n-1}$, если p простое число вида ${\displaystyle 8k-3}$. Это следует из малой теоремы Ферма, так что если p простое нечётное, то p делит C_m(k) для каждого ${\displaystyle m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k}$ (для k > 0). Было также показано, что простое число p делит ${\displaystyle C_{(p+1)/2}}$, когда символ Якоби ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ есть −1, и что p делит ${\displaystyle C_{(3p-1)/2}}$, когда символ Якоби ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ есть +1.

Неизвестно, существует ли простое число p, у которого C_p тоже простое.

Обобщения

Иногда обобщёнными числами Каллена называют числа вида ${\displaystyle n\cdot b^{n}+1}$, где n + 2 > b. Если простое число может быть записано в такой форме, его называют обобщённым простым числом Каллена. Числа Вудала иногда называют числами Каллена второго рода.

По состоянию на 2025 год наибольшие известное обобщённое простое число Каллена ${\displaystyle 4052186\cdot 69^{4052186}+1}$ имеет 7 451 366 знаков, число было открыто участником проекта добровольных распределенных вычислений PrimeGrid Марком Уильямсом из США 16 апреля 2025 года^[2].