Экстраполятор первого порядка

Экстраполятор первого порядка — математическая модель для восстановления дискретизованного сигнала, которое может производиться обычным цифро-аналоговым преобразователем (который в данном случае выступает в качестве экстраполятора нулевого порядка) и аналоговой схемой (интегратором). В этом случае сигнал восстанавливается в виде кусочно-линейной аппроксимации изначально оцифрованного сигнала. По сравнению с экстраполятором нулевого порядка экстраполятор первого порядка в общем случае имеет меньший шум квантования и, следовательно, более точно восстанавливает сигнал.

Математическая модель

Идеально оцифрованный сигнал x_s(t).

Пусть x_s(t) — сигнал до оцифровки, и x(nT) — сигнал после оцифровки. Тогда экстраполятор нулевого порядка есть фильтр преобразующий идеально оцифрованный сигнал ${\displaystyle x_{s}(t)}$ ${\displaystyle =x(t)\ T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\ }$ |${\displaystyle =T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\ }$

Кусочно-линейный сигнал x_FOH(t).

в кусочно-линейный сигнал

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\ }$

Импульсная передаточная функция экстраполятора первого порядка h_FOH(t).

и имеющий импульсную передаточную функцию

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t|<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\ }$

где ${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$ — треугольная функция.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика экстраполятора первого порядка есть преобразование Фурье его импульсной передаточной функции:

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(f)}$ ${\displaystyle ={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$ ${\displaystyle =\left({\frac {e^{i\pi fT}-e^{-i\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\ }$ ${\displaystyle =\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\ }$

где ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\ }$ — sinc-функция.

Передаточная функция экстраполятора первого порядка получается формальной заменой s = i 2 π f:

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(s)}$ ${\displaystyle ={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$ ${\displaystyle =\left({\frac {e^{sT/2}-e^{-sT/2}}{sT}}\right)^{2}\ }$

См. также

• Теорема Котельникова
• Экстраполятор нулевого порядка