Энтропия Вселенной

Энтропи́я Вселе́нной — величина, характеризующая степень неупорядоченности и тепловое состояние Вселенной.

Величина	Формула расчета	Значение
Полная энтропия видимой части ${\displaystyle S}$	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}s_{\gamma }L^{3}}$	${\displaystyle \sim 10^{90}k}$
Удельная энтропия фотонного газа ${\displaystyle s_{\gamma }}$	${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{90}}T_{0}^{3}}$	${\displaystyle \approx 1{,}49\cdot 10^{3}\cdot k}$ см−3

Классическое определение энтропии и способ её вычисления не подходят для Вселенной, так как в ней действуют силы гравитации, и вещество само по себе не образует замкнутой системы. Однако можно доказать, что в сопутствующем объёме полная энтропия сохраняется➤.

В сравнительно медленно расширяющейся Вселенной энтропия в сопутствующем объёме сохраняется, а по порядку величины энтропия равна числу фотонов^[1].

Текущее значение энтропии

Хотя ко Вселенной как целому нельзя применить понятие энтропии, это может быть сделано для ряда подсистем вселенной, допускающих термодинамическое и статистическое описание (например, к взаимодействующим подсистемам всех компактных объектов, теплового реликтового электромагнитного излучения, реликтовых нейтрино и гравитонов). Энтропия компактных объектов (звёзд, планет и т. д.) ничтожно мала по сравнению с энтропией реликтовых безмассовых (и почти безмассовых) частиц — фотонов, нейтрино, гравитонов. Плотность энтропии реликтовых фотонов, образующих равновесное тепловое излучение с современной температурой T = 2,726 К, равна

${\displaystyle s_{\gamma }={\frac {16\sigma }{3c}}T^{3}=1{,}49\cdot 10^{3}k}$ см⁻³ ≈ 2,06 · 10⁻¹³ эрг · К⁻¹ · см⁻³,

где σ — постоянная Стефана — Больцмана,

c — скорость света,

k — постоянная Больцмана.

Плотность числа фотонов теплового излучения пропорциональна плотности его энтропии:

${\displaystyle n_{\gamma }=s_{\gamma }/(3{,}602\,k).}$

Каждый из сортов безмассовых (или лёгких, с массой много меньше 1 МэВ) нейтрино вносит в космологическую плотность энтропии вклад ${\displaystyle s_{\nu }={\frac {7}{22}}s_{\gamma },}$ поскольку в стандартной космологической модели они отцепляются от вещества раньше фотонов, и их температура ниже: ${\displaystyle T_{\nu }=\left({\frac {4}{11}}\right)^{1/3}T_{\gamma }.}$ Можно показать также, что тепловые реликтовые гравитоны, отцепляющиеся от вещества намного раньше нейтрино, вносят в энтропию вклад, не превосходящий ${\displaystyle s_{\gamma }.}$

Таким образом (если считать, что за рамками Стандартной Модели нет большого числа разновидностей неизвестных нам лёгких стабильных частиц, которые могут рождаться в ранней Вселенной и практически не взаимодействуют с веществом при низких энергиях), следует ожидать, что плотность энтропии Вселенной не более чем в несколько раз превосходит ${\displaystyle s_{\gamma }.}$ Поскольку крупномасштабное гравитационное поле весьма упорядоченно (Вселенная на больших масштабах однородна и изотропна), естественно считать, что с этим компонентом не связана никакая существенная разупорядоченность, которая могла бы внести значительный вклад в общую энтропию. Отсюда полную энтропию наблюдаемой Вселенной можно оценить как произведение её объёма V на ${\displaystyle s_{\gamma }:}$

${\displaystyle S\approx Vs_{\gamma }\approx {\frac {4\pi }{3}}L^{3}s_{\gamma }\sim 10^{90}k,}$

где L ≈ 46 млрд световых лет ≈ 4,4·10²⁸ см — расстояние до современного космологического горизонта (радиус наблюдаемой Вселенной) в общепринятой космологической модели ΛCDM. Для сравнения, энтропия чёрной дыры с массой, равной массе наблюдаемой Вселенной, составляет ~10¹²⁴ k — на 34 порядка больше; это показывает, что Вселенная является существенно упорядоченным, низкоэнтропийным объектом, и предположительно является причиной существования термодинамической стрелы времени^[2].

Удельную энтропию Вселенной часто нормируют на плотность барионов n_b. Безразмерная удельная энтропия реликтового излучения ${\displaystyle S_{\gamma }={\frac {s_{\gamma }}{n_{b}k}}\sim 10^{9}.}$

Закон сохранения энтропии во Вселенной

В современной Вселенной, начиная по крайней мере с момента 1 с после начала расширения, энтропия в сопутствующем объёме нарастает очень медленно (процесс расширения практически адиабатичен)^[2]. Это положение можно выразить как (приближённый) закон сохранения энтропии во Вселенной. Важно осознавать, что он не имеет настолько фундаментального статуса, как законы сохранения энергии, импульса, заряда и т.п., и является лишь хорошим приближением для некоторых (но не всех) этапов развития Вселенной (в частности, для современной Вселенной).

В общем случае, приращение внутренней энергии имеет вид:

${\displaystyle dE=TdS-pdV+\sum \limits _{i}\mu _{i}dN_{i}.}$

Учтем, что химические потенциалы μ_i частиц и античастиц равны по значению и противоположны по знаку:^{[уточнить]}

${\displaystyle dE=TdS-pdV+\sum \limits _{i}\mu _{i}(dN_{i}-d{\overline {N}}_{i}).}$

Если считать расширение равновесным процессом, то последнее выражение можно применить к сопутствующему объёму (${\displaystyle V\propto a^{3}}$, где ${\displaystyle a}$ — «радиус» Вселенной). Однако в сопутствующем объёме разница частиц и античастиц сохраняется. Учитывая этот факт, имеем:

${\displaystyle TdS=(p+\rho )dV+Vd\rho .}$

Но причиной изменения объёма является расширение. Если теперь, учитывая это обстоятельство, продифференцировать по времени последнее выражение, получаем:

${\displaystyle T{\frac {dS}{dt}}=a^{3}\left[3{\frac {\dot {a}}{a}}(p+\rho )+{\dot {\rho }}\right].}$

Теперь, если заменить ${\displaystyle {\frac {\dot {a}}{a}}}$ на постоянную Хаббла и подставить уравнение неразрывности, входящее в систему уравнений Фридмана, в правой части получаем нуль:

${\displaystyle T{\frac {dS}{dt}}=0.}$

Последнее означает, что энтропия в сопутствующем объёме сохраняется (поскольку температура не равна нулю).