Эргодическая мера

Эргодическая мера — в теории динамических систем инвариантная мера ${\displaystyle \mu }$, не представимая в виде комбинации нескольких различных инвариантных мер, то есть, если некоторое инвариантное множество ${\displaystyle A}$ имеет положительную меру ${\displaystyle \mu (A)>0}$, то мера его дополнения равна нулю ${\displaystyle \mu (P\setminus A)=0}$^[1].

Примеры

• Рассмотрим динамическую систему: ${\displaystyle {\dot {x}}=x-x^{3}}$. У неё есть три неподвижные точки:

${\displaystyle x_{1}=0,x_{2}=1,x_{3}=-1}$ и три соответствующие им эргодических меры ${\displaystyle p_{1}(x)=\delta (x),p_{2}(x)=\delta (x-1),p_{3}(x)=\delta (x+1)}$^[2].

• Рассмотрим динамическую систему, проходящую периодическую траекторию — цикл ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$.

Эргодическая мера имеет вид: ${\displaystyle p(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\delta (x-x_{i})}$^[2].

См. также

• Эргодичность