Ядерная регрессия

Ядерная регрессия (англ. kernel regression) — непараметрический статистический метод, позволяющий оценить условное математическое ожидание случайной величины. Его смысл заключается в поиске нелинейного отношения между парой случайных величин X и Y.

В любой непараметрической регрессии условное матожидание величины ${\displaystyle Y}$ относительно величины ${\displaystyle X}$ можно записать так:

${\displaystyle \operatorname {E} (Y|X)=m(X)}$

где ${\displaystyle m}$ — некая неизвестная функция.

Ядерная регрессия Надарая — Уотсона

Надарая и Уотсон одновременно (в 1964 году) предложили оценивать ${\displaystyle m}$ как локально взвешенное среднее, где веса определялись бы ядром^[1][2][3]. Оценка Надарая — Уотсона:

${\displaystyle {\widehat {m}}_{h}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})}}}$

где ${\displaystyle K}$ — ядро с шириной окна ${\displaystyle h}$. Знаменатель представляет собой весовой член с единичной суммой.

Получение

${\displaystyle \operatorname {E} (Y|X=x)=\int yf(y|x)dy=\int y{\frac {f(x,y)}{f(x)}}dy}$

Находя ядерную оценку плотности для совместного распределения f(x,y) и распределения f(x) с ядром K,

${\displaystyle {\hat {f}}(x,y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)}$,
${\displaystyle {\hat {f}}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}$,

получаем

${\displaystyle \operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)=\int {\frac {y\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}}dy,}$

${\displaystyle \operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)\int y\,K_{h}\left(y-y_{i}\right)dy}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}},}$

${\displaystyle \operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}},}$

это и есть оценка Надарая — Уотсона.

Ядерная оценка Пристли — Чжао

${\displaystyle {\widehat {m}}_{PC}(x)=h^{-1}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})K\left({\frac {x-x_{i}}{h}}\right)y_{i}}$

Ядерная оценка Гассера — Мюллера

${\displaystyle {\widehat {m}}_{GM}(x)=h^{-1}\sum _{i=1}^{n}\left[\int _{s_{i-1}}^{s_{i}}K\left({\frac {x-u}{h}}\right)du\right]y_{i}}$

где ${\displaystyle s_{i}={\frac {x_{i-1}+x_{i}}{2}}}$

В статистических пакетах

• MATLAB: свободно распространяемый инструментарий для ядерных регрессий, оценок плотности и проч. доступны по ссылке (является приложением к книге^[4]).
• Stata: kernreg2
• R: функция npreg в пакете np способна построить ядерную регрессию^[5][6].
• Python: пакет kernel_regression (расширение sklearn).
• GNU Octave: математический программный пакет.