Яркостная температура

Яркостная температура — фотометрическая величина, характеризующая интенсивность излучения. Часто используется в радиоастрономии.

В диапазоне частот

По определению, яркостная температура ${\displaystyle T_{b}}$ в диапазоне частот ${\displaystyle \Delta \nu }$ — это такая температура, которую имело бы абсолютно чёрное тело, обладающее такой же интенсивностью в данном диапазоне частот. Интенсивность излучения абсолютно чёрного тела задается формулой Планка:

${\displaystyle I_{\nu }={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{\exp {\frac {h\nu }{kT}}-1}}}$, где

${\displaystyle \nu }$ — частота излучения, ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка, ${\displaystyle c}$ — скорость света, ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана. Отсюда имеем:

${\displaystyle T_{b}={\frac {h\nu }{k}}\ln ^{-1}\left(1+{\frac {2h\nu ^{3}}{I_{\nu }c^{2}}}\right)}$

Для случая низких частот ${\displaystyle h\nu \ll kT}$ формула Планка сводится к формуле Рэлея-Джинса:

${\displaystyle I_{\nu }={\frac {2\nu ^{2}kT}{c^{2}}}}$

Тогда яркостная температура выражается:

${\displaystyle T_{b}={\frac {I_{\nu }c^{2}}{2k\nu ^{2}}}}$

В диапазоне длин волн

Интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в диапазоне длин волн задается формулой Планка для длин волн:

${\displaystyle I_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{kT\lambda }}-1}}}$, где

Отсюда яркостная температура в диапазоне длин волн ${\displaystyle \Delta \lambda }$ выражается формулой:

${\displaystyle T_{b}={\frac {hc}{k\lambda }}\ln ^{-1}\left(1+{\frac {2hc^{2}}{I_{\lambda }\lambda ^{5}}}\right)}$

Для длинноволнового излучения ${\displaystyle hc/\lambda \ll kT}$ яркостная температура выражется:

${\displaystyle T_{b}={\frac {I_{\lambda }\lambda ^{4}}{2kc}}}$

Для излучения, близкого к монохроматическому, яркостную температуру можно выразить через энергетическую яркость ${\displaystyle I}$ и длину когерентности ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle T_{b}={\frac {\pi I\lambda ^{2}L}{4kc\ln {2}}}}$

Нужно отметить, что яркостная температура не является температурой в привычном понимании. Она характеризует излучение, и в зависимости от механизма излучения может значительно отличаться от физической температуры излучающего тела (хотя построить устройство, которое будет нагреваться источником излучения с некоторой яркостной температурой до реальной температуры, равной яркостной, теоретически возможно^[1]). У нетепловых источников яркостная температура может быть очень высокой. У пульсаров она достигает ${\displaystyle 10^{26}}$K^[2], а в гигантских импульсах пульсаров может превышать ${\displaystyle 10^{39}}$ K^[3]. Для излучения гелий-неонового лазера мощностью 60 мВт с длиной когерентности 20 см, сфокусированного в пятне диаметром 10 мкм, яркостная температура составит почти 14⋅10⁹ К. Для чисто тепловых источников их яркостная температура совпадает с их физической температурой.