Четырёхсила

Четырёхсила, 4-сила — 4-вектор силы, релятивистское обобщение трёхмерного вектора силы классической механики на четырёхмерное пространство-время.

Определение

4-сила ${\displaystyle \Phi }$ есть скорость изменения 4-импульса ${\displaystyle P}$, оценённая в течение собственного времени движущегося тела^[1].

${\displaystyle \Phi ^{\mu }={\begin{pmatrix}{\frac {dP_{0}}{d\tau }}\\{\frac {dP_{x}}{d\tau }}\\{\frac {dP_{y}}{d\tau }}\\{\frac {dP_{z}}{d\tau }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {mc}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {mv_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {mv_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {mv_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{pmatrix}}.}$

Преобразование Лоренца

Представим 4-силу в виде:

${\displaystyle \Phi ^{\mu }={\begin{pmatrix}{\frac {Fv}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\\{\frac {F_{x}}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\\{\frac {F_{y}}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\\{\frac {F_{z}}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\end{pmatrix}}.}$

Здесь ${\displaystyle F={\frac {d}{dt}}{\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ - релятивистская 3-сила, ${\displaystyle Fv}$ - её мощность. В системе отсчета, движущейся со скоростью V относительно исходной системы отсчета в направлении оси x величины преобразуются следующим образом^[2]:

${\displaystyle F'v'={\frac {Fv-VF_{x}}{1-{\frac {Vv_{x}}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle F'_{x}={\frac {F_{x}-{\frac {V}{c^{2}}}Fv}{1-{\frac {Vv_{x}}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle F'_{y}=F_{y}{\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1-{\frac {Vv_{x}}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle F'_{z}=F_{z}{\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1-{\frac {Vv_{x}}{c^{2}}}}}}$

См. также

• Четырёхимпульс