H-теорема

В термодинамике и кинетической теории, ${\displaystyle H}$-теорема, полученная Больцманом в 1872 году, описывает неубывание энтропии идеального газа в необратимых процессах, исходя из уравнения Больцмана.

На первый взгляд может показаться, что она описывает необратимое возрастание энтропии исходя из микроскопических обратимых уравнений динамики. В своё время этот результат вызвал бурные споры.

Формулировка

При временно́й эволюции к равновесному состоянию энтропия внешне замкнутой системы возрастает и остается неизменной при достижении равновесного состояния^[1].

H-теорема

Величина ${\displaystyle H}$ определяется как интеграл по пространству скоростей:

${\displaystyle H\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\int P(\ln P)\,d^{3}v=\langle \ln P\rangle ,}$

где ${\displaystyle P(v)}$ — вероятность.

Используя уравнение Больцмана, можно показать, что ${\displaystyle H}$ не может возрастать.

Для системы из ${\displaystyle N}$ статистически независимых частиц, ${\displaystyle H}$ соотносится с термодинамической энтропией ${\displaystyle S}$ посредством:

${\displaystyle S\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}-NkH,}$

таким образом, согласно ${\displaystyle H}$-теореме, ${\displaystyle S}$ не может убывать.

Однако Лошмидт выдвинул возражение, что невозможно вывести необратимый процесс из симметричных во времени уравнений динамики. Решение парадокса Лошмидта заключается в том, что уравнение Больцмана основано на предположении «молекулярного хаоса», то есть для описания системы достаточно одночастичной функции распределения. Это допущение по сути и нарушает симметрию во времени.

Формулировка

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}+{\frac {\partial H_{i}}{\partial x_{i}}}\leqslant 0}$, где ${\displaystyle H=\int f\ln f{\frac {dp}{m}}}$, ${\displaystyle H_{i}=\int {\frac {p_{i}}{m}}f\ln f{\frac {dp}{m}}}$, ${\displaystyle f}$ - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана^[2]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =Q(f,f).}$

Доказательство

Доказательство следует из неравенства Больцмана ${\displaystyle \int \ln fQ(f,f){\frac {dp}{m}}\leqslant 0}$, где ${\displaystyle f}$ - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана, ${\displaystyle Q(f,f)}$ - интеграл столкновений. Для доказательства умножаем обе части уравнения Больцмана на ${\displaystyle 1+\ln f}$ и интегрируем по всем возможным скоростям ${\displaystyle {\frac {p}{m}}}$. При этом используется, что ${\displaystyle d(f\ln f)=(1+\ln f)df}$, неравенство Больцмана ${\displaystyle \int \ln fQ(f,f){\frac {dp}{m}}\leqslant 0}$, ${\displaystyle 1}$ - инвариант столкновений, обращение ${\displaystyle f}$ в нуль при стремлении скорости к бесконечности^[2].

См. также

• Негэнтропия
• Уравнение Больцмана
• Неравенство Больцмана
• S-теорема Климонтовича