NP-полная задача

NP-полная задача — в теории алгоритмов задача с ответом «да» или «нет» из класса NP, к которой можно свести любую другую задачу из этого класса за полиномиальное время (то есть при помощи операций, число которых не превышает некоторого полинома в зависимости от размера исходных данных). Таким образом, NP-полные задачи образуют в некотором смысле подмножество «типовых» задач в классе NP: если для какой-то из них будет найден «полиномиально быстрый» алгоритм решения, то и любую другую задачу из класса NP можно будет решить так же «быстро».

Взаимоотношение между классами P, NP, NP-complete (NP-полными задачами), NP-hard (NP-трудными задачами) в случае, если P≠NP и если P=NP

Формальное определение

Алфавитом называется всякое конечное множество символов (например, {${\displaystyle {0,1}}$} или {${\displaystyle {a,b,c}}$}). Множество всех возможных слов (конечных строк, составленных из символов этого алфавита) над некоторым алфавитом ${\displaystyle \Sigma }$ обозначается ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$. Языком ${\displaystyle L}$ над алфавитом ${\displaystyle \Sigma }$ называется всякое подмножество множества ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$, то есть ${\displaystyle L\subset \Sigma ^{*}}$.

Задачей распознавания для языка ${\displaystyle L}$ называется определение того, принадлежит ли данное слово языку ${\displaystyle L}$.

Пусть ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ — два языка над алфавитом ${\displaystyle \Sigma }$. Язык ${\displaystyle L_{1}}$ называется сводимым (по Карпу) к языку ${\displaystyle L_{2}}$, если существует функция, ${\displaystyle f\colon \Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}}$, вычислимая за полиномиальное время, обладающая следующим свойством:

• ${\displaystyle x\in L_{1}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f(x)\in L_{2}}$. Сводимость по Карпу обозначается как ${\displaystyle L_{1}{\leq }_{p}L_{2}}$ или ${\displaystyle L_{1}\varpropto L_{2}}$.

Язык ${\displaystyle L_{2}}$ называется NP-трудным, если любой язык из класса NP сводится к нему. Язык называют NP-полным, если он NP-труден, и при этом сам лежит в классе NP.

Неформально говоря, то что задача ${\displaystyle A}$ сводится к задаче ${\displaystyle B}$, означает, что задача ${\displaystyle A}$ «не сложнее» задачи ${\displaystyle B}$ (так как, если мы можем решить ${\displaystyle B}$, то можем решить и ${\displaystyle A}$). Таким образом, класс NP-трудных задач включает NP-полные задачи и задачи, которые «сложнее» их (то есть те задачи, к которым могут быть сведены NP-полные задачи). Класс NP включает NP-полные задачи и задачи, которые «легче» их (то есть те задачи, которые сводятся к NP-полным задачам).

Из определения следует, что, если будет найден алгоритм, решающий некоторую (любую) NP-полную задачу за полиномиальное время, то все NP-задачи окажутся в классе P, то есть будут решаться за полиномиальное время.

NP-полнота в сильном смысле

Основная статья: NP-полнота в сильном смысле^[англ.]

Задача называется NP-полной в сильном смысле, если у неё существует подзадача, которая:

1. не является задачей с числовыми параметрами (то есть максимальное значение величин, встречающихся в этой задаче, ограничено сверху полиномом от длины входа)
2. является NP-полной.

Класс таких задач называется NPCS. Если гипотеза P ≠ NP верна, то для NPCS-задачи не существует псевдополиномиального алгоритма^{[источник не указан 2918 дней]}.

Гипотеза P ≠ NP

Основная статья: Равенство классов P и NP

Вопрос о совпадении классов P и NP уже более пятидесяти лет является одной из центральных открытых проблем. Научное сообщество склоняется к отрицательному ответу на этот вопрос^[1] — в этом случае решать NP-полные задачи за полиномиальное время не удастся.

Примеры NP-полных задач

Основная статья: Список NP-полных задач^[англ.]

• Задача о выполнимости булевых формул
• Задача коммивояжёра
• Задача о вершинном покрытии
• Задача о покрытии множества
• Задача о независимом множестве
• Задача о клике
• Проблема Штейнера
• Проблема раскраски графа
• Пятнашки
• Судоку
• Сапёр
• Тетрис^[2]
• Кубик-змейка^[3]

См. также

• Равенство классов P и NP