P-группа

p-группа — группа, в которой порядок каждого элемента является степенью простого числа p.

Примеры

• Циклическая группа порядка ${\displaystyle p^{n}}$ и прямые произведения таких групп.
  • Каждая коммутативная p-группа изоморфна одному из этих примеров.
• Группа Гейзенберга по модулю ${\displaystyle p}$ — простейший пример некоммутативной p-группы.
• Группа Григорчука — пример бесконечной 2-группы.
• Силовские p-группы (см. Теоремы Силова)

Свойства

• Центр ${\displaystyle Z(P)}$ нетривиальной конечной p-группы ${\displaystyle P}$ является нетривиальной группой.
  • В частности, все p-группы нильпотентны.
  • Более того, если ${\displaystyle H}$ нормальная подгруппа в p-группе ${\displaystyle P}$, то ${\displaystyle |H\cap Z(P)|>1}$.
    • Данное свойство получается из теоремы о центре, если учесть, что любая подгруппа p-группы сама является p-группой и что нормальная подгруппа инвариантна к сопряжениям.
• Если группа конечна, то ее порядок тогда тоже равен некоторой степени числа p (это следует из первой теоремы Силова).
  • Более того любая группа порядка ${\displaystyle p^{n}}$ является p-группой (следует из теоремы Лагранжа).
• При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{n}}$ асимптотически равно

  ${\displaystyle p^{{\frac {2}{27}}\cdot n^{3}+O(n)}}$.

См. также

• Задача Бёрнсайда

Литература

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рус.)
• Холл М. Теория групп. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Gorenstein D. Finite groups — N. Y.: Harper and Row, 1968.