Q-производная

Q-производная или производная Джексона — это q-аналог обычной производной, который предложил Франк Хилтон Джексон. Q-производная обратна q-интегрированию Джексона. Другие виды q-производной можно найти в статье К.С. Чанга, В.С Чанга, С.Т. Нама и Х.Дж. Кана^[1].

Определение

Q-производная функции f(x) определяется как

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$

и часто записывается как ${\displaystyle D_{q}f(x)}$. Q-производная известна также как производная Джексона.

Формально, в терминах оператора сдвига Лагранжа в логарифмических переменных, это равносильно оператору

${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}$

который приводит к обычной производной, → ^d⁄_dx при q → 1.

Оператор очевидно линеен,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}$

Q-производная имеет правило для произведения, аналогичное правилу произведения для обычной производной в двух эквивалентных формах

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}$

Аналогично, q-производная удовлетворяет правилу для деления,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}$

Есть также правило, подобное правилу обычного дифференцирования суперпозиции функций. Пусть ${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$. Тогда

${\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}$

Собственная функция q-производной — это q-показательная функция^[англ.] e_q(x).

Связь с обычными производными

Q-дифференцирование напоминает обычное дифференцирование с курьёзными отличиями. Например, q-производная одночлена равна

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$,

где ${\displaystyle [n]_{q}}$ — q-скобка числа n. Заметим, что ${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$, так что обычная производная возвращается в пределе.

Для функции n-ая q-производная может быть задана как:

${\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!}$

при условии, что обычная n-ая производная функции f существует в x = 0. Здесь ${\displaystyle (q;q)_{n}}$ — q-символ Похгаммера, а ${\displaystyle [n]_{q}!}$ — q-факториал. Если функция ${\displaystyle f(x)}$ аналитическая, мы можем использовать формулу Тейлора для определения ${\displaystyle D_{q}(f(x))}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}$

Q-аналог разложения Тейлора функции около нуля:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}}$

См. также

• Производная (математика)
• Инеграл Джексона^[англ.]
• Q-показательная функция^[англ.]
• Q-разностные многочлены^[англ.]
• Квантовое исчисление^[англ.]
• Энтропия Цаллиса