U-критерий Манна — Уитни

U-критерий Манна — Уитни (англ. Mann–Whitney U test) — статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками.

Другие названия: критерий Манна — Уитни — Уилкоксона (англ. Mann–Whitney–Wilcoxon, MWW), критерий суммы рангов Уилкоксона (англ. Wilcoxon rank-sum test) или критерий Уилкоксона — Манна — Уитни (англ. Wilcoxon–Mann–Whitney test). Реже: критерий числа инверсий^[1].

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году американским химиком и статистиком Фрэнком Уилкоксоном. В 1947 году он был существенно переработан и расширен Г. Б. Манном и Д. Р. Уитни^[фр.], по именам которых сегодня обычно и называется.

Описание критерия

Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума.

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

Ограничения применимости критерия

1. В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
2. В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа — разные) или таких совпадений должно быть очень мало (до 10).^{[источник не указан 1056 дней]}

Использование критерия

Для применения U-критерия Манна — Уитни нужно произвести следующие операции.

1. Составить единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени возрастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг (при наличии повторяющихся элементов в выборке использовать средний ранг). Общее количество рангов получится равным ${\displaystyle N=n_{1}+n_{2},}$ где ${\displaystyle n_{1}}$ — количество элементов в первой выборке, а ${\displaystyle n_{2}}$ —элементов во второй выборке.
2. Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящих из элементов первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов элементов первой выборки ${\displaystyle R_{1}}$ и элементов второй выборки ${\displaystyle R_{2}}$, затем вычислить:

   ${\displaystyle U_{1}=n_{1}\cdot n_{2}+{\frac {n_{1}\cdot (n_{1}+1)}{2}}-R_{1}}$,
   ${\displaystyle U_{2}=n_{1}\cdot n_{2}+{\frac {n_{2}\cdot (n_{2}+1)}{2}}-R_{2}}$,
   если всё вычислено верно, то
   ${\displaystyle U_{1}+U_{2}=n_{1}\cdot n_{2}.}$,

3. Определить значение U-статистики Манна-Уитни по формуле ${\displaystyle U=\min\{U_{1},U_{2}\}.}$
4. По таблице для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных ${\displaystyle n_{1}}$ и ${\displaystyle n_{2}}$. Если полученное значение ${\displaystyle U}$ меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение ${\displaystyle U}$ больше табличного, принимается нулевая гипотеза. Достоверность различий тем выше, чем меньше значение ${\displaystyle U}$.
5. При справедливости нулевой гипотезы критерий имеет математическое ожидание ${\displaystyle M(U)=n_{1}n_{2}/2}$ и дисперсию ${\displaystyle D(U)=n_{1}n_{2}(n_{1}+n_{2}+1)/12}$ и при достаточно большом объёме выборочных данных ${\displaystyle (n_{1}>19,n_{2}>19)}$ распределён практически нормально.

Таблица критических значений

• Critical Values for the Mann — Whitney U-Test. (не работает)
• Расчет критических значений U-критерия Манна — Уитни для выборок больше 20 (N>20)

См. также

• Критерий Краскела — Уоллиса — обобщение U-критерия Манна — Уитни на случай нескольких выборок.