Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.
Эту страницу предлагается объединить со страницей Первичный идеал (алгебра). |
Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала, — локализация кольца.
Идеал в кольце называется простым, если факторкольцо по нему является областью целостности.
Равносильная формулировка: если и из следует или , то являет собой простой идеал.
Множество всех простых идеалов кольца образует спектр кольца . В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.
Действительно, пусть , . Рассмотрим идеал . Поскольку максимален, либо (что невозможно, поскольку ), либо . Но тогда , и, следовательно, .
Пусть — простой идеал, содержащий . Если элемент принадлежит радикалу , то некоторая его степень принадлежит идеалу , поэтому не может принадлежать дополнению к , так как это дополнение — мультипликативная система (если оно содержит , то содержит и все его степени). Значит, принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал .
Обратно: пусть не принадлежит радикалу . Тогда множество всех его степеней — мультипликативная система, не пересекающаяся с . Согласно предыдущей теореме, существует простой идеал, содержащий и не содержащий ни одну из степеней элемента . Следовательно, не принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал .
Пусть — наименьшее положительное число в . Возьмем произвольное и поделим с остатком на : , где . В силу выбора , имеем , т.е. все элементы делятся на . Таким образом, .
Положим, теперь . Поскольку из следует или , — простое число.
Любой элемент можно представить в виде , где — некоторые многочлены, а определено однозначно элементом . Условие равносильно тогда условию , откуда следует либо , либо .
Понятие простого идеала коммутативного кольца является частным случаем понятия первичного идеала: первичным идеалом (не обязательно коммутативного) кольца называется всякий идеал (не совпадающий со всем кольцом) такой, что если два элемента таковы, что , то или , или .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.