В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости , то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.
Идея доказательства использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом Эйлер вывел формулу. Есть свойство решета Эратосфена, из которого мы можем извлечь пользу:
Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:
Повторяем для следующего:
Опять вычитаем, получаем:
где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.
Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето. Бесконечно повторяя, получаем:
Поделим обе стороны на всё, кроме , получим:
что можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым p:
Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда , просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для .
Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.
Если взять асимптотическое разложение при частичных сумм вида
,
справедливую для , она же останется верной и для всех , кроме тех, для которых (это тривиальные корни дзета-функции). Из этого можно получить следующие формулы для :
, при , кроме ;
, при , кроме или ;
, при , кроме , или и т. д.
Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное[1].
где — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал[2].
Для функции
,
введённой Риманом для исследования и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:
Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости функция имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, при вещественных . Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат в полосе , которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой.
Ниже приведены формулы для с участием интегралов, полученные с использованием дзета-функции Римана[4][5][6]:
Цепные дроби
Некоторые из представлений в виде цепных дробей были получены в связи с аналогичными представлениями для константы Апери, дающими возможность доказать её иррациональность.
Одним из наиболее коротких представлений является , получаем, что , где — полигамма-функция.
Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:
которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
Квантовый аналог (q-аналог).
В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора[11]. Пусть — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр . Причём существует вещественное число, такое, что оператор имеет след. Тогда дзета-функция оператора определяется для произвольного комплексного числа, лежащего в полуплоскости , может быть задана сходящимся рядом
Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки , то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора в соответствии с формулой
Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение.
Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел.
Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.
Connon D. F. "Некоторые ряды и интегралы, включающие Дзета-функцию Римана, биномиальные коэффициенты и гармонические числа (часть I)". arXiv:0710.4022.
Дербишир Дж.Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике.— М.: Астрель, 2010.— 464с.— ISBN 978-5-271-25422-2..
Тахтаджян Л. А.Квантовая механика для математиков/Перевод с английского к.ф.-м.н. С. А. Славнов.— Изд. 2-е.— М.—Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2011.— 496с.— ISBN 978-5-93972-900-0.
Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф.Специальные функции: формулы, графики, таблицы/Пер. с 6-го переработанного немецкого издания под ред. Л. И. Седова.— Изд. 3-е, стереотип.— М.: Наука, 1977.— 344с.