Гипербола

Гипербола в геометрии е така ровинна крива, котра вытворить ся коничным перерѣзом, кедь рѣжуча ровина перейде через обѣ полы конусной поверхнѣ.^[1] Циже гипербола складать ся зоз двох дуг, котры суть абсолутно идентичны и симетричны, кедь ровина перерѣзу паралелна оси конуса.^[2][3]

Гипербола: перерѣз

Гипербола: параметры

Параметры гиперболы

Гипербола, подобно иншым коничным перерѣзам, мать два огниска ${\displaystyle F_{1}}$, ${\displaystyle F_{2}}$, а про кажду точку ${\displaystyle M}$, котра лежить на гиперболѣ:

${\displaystyle |F_{1}M|-|F_{2}M|=2a\,\!}$

роздѣл оддаленостей од огниск зоставать немѣнный и ровный довжцѣ ${\displaystyle 2a}$. 2а — то главна, або реална, ось гиперболы, циже одстояня меджи ей вершинами, причому оно е менше од огнискового одстояня ${\displaystyle |F_{1}F_{2}|}$. Одты ексцентрицита гиперболы е векша од единицѣ: ${\displaystyle \varepsilon =c/a}$. Гипербола мать двѣ дугы, а ей центром е середина главной оси.

Кедь зачаток координат положеный в центрѣ гиперболы, x-ова ось буде главна ось, а y-ова ось буде бочна (имагинарна) ось гиперболы, тогды канонична ровниця гиперболы буде:^[4][5]

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$,

бочна (имагинарна) полуось ${\displaystyle b}$ вызначить ся одношѣньом:^[4]

${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}}$,

де ${\displaystyle c}$ — половка огнисковой оддалености.
Важным параметром е огнисковый параметер: ${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}}$, котрый означать довжку простопадной з гиперболы на главну ось, проходячой через огниско.^[1]

Иншы одношѣня:

• ${\displaystyle a={\frac {p}{\varepsilon ^{2}-1}}}$;
• ${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-1}}}}$;
• ${\displaystyle c={\frac {p\varepsilon }{\varepsilon ^{2}-1}}}$.

Кедь ${\displaystyle a=b}$, гипербола зя называть ровнобочнов, а ей асимптоты перетинають ся под простым кутом. Формулы асимптот:^[5] ${\displaystyle y={\frac {b}{a}}x}$ и ${\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x}$.

Жерела и одказы

• Акопян А. В., Заславский А. А.: Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с. ISBN 978-5-94057-300-5 русс.
• Бронштейн И. Гипербола. //Квант. 1975. № 3. русс.
• Иванов Д.Б. Гипербола. //Математическая энциклопедия (на сайтѣ academic.ru) русс.
• Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978 русс.
• Маркушевич А.И. Замечательные кривые. русс.

• Яковлев К.П. (ред.). Краткий физико-технический справочник. Том первый. Математика. Физика. Москва: Издательство «ФИЗМАТГИЗ», 1960. русс.