Radianti

U radianti (gìniralmenti innìcatu rad quannu nìcissariu), eni la unitati di misura di la larchizza di li anguli dû Sistema 'ntirnazziunali di unitati di misura. Tali misura rapprìsenta u rapportu tra la lunchizza di l'arcu di circunfirenza tracciatu da l'angulu e la lunchizza dû raggiu di tali circunfirenza; essennu u rapportu tra dui grannizzi omogenee eni nu nùmmaru puru.

Definizione di radiante

Si pigghìassi na circunfirenza cu centru ntô vertici di l'angulu e lu sò arcu ntercìttatu da li dui semirette ca formanu l'angulu. Chiamammu ${\displaystyle l}$ a lunchizza di tali arcu, ${\displaystyle r}$ chidda dû raggiu, ${\displaystyle c}$ chidda di la circunfirenza e ${\displaystyle \alpha }$ l'ampiezza di l'angulu dìscrittu da l'arcu.

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {l}{r}}}$

${\displaystyle l=r\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }}$

Da ciò si evìnci ca u radianti eni nu nummaru puru, ossia eni adimensionali, datu ca esprimi u rapportu tra dui lunchizzi.

Infatti: [rad] = [m] / [m] = [1].

Dìfinemmu comu radianti l'ampiezza di l'angulu ca suttènni nu arcu di circunfirenza ca, rettìficatu, avi lunchizza uguali a lu raggiu di la circunfirenza stissa. 'N paroli poviri nu radianti eni l'angulu ca si avi 'n currìspunnenza di nu arcu di lunchizza pari a lu raggiu di la circunfirenza.

Essennu a lunchizza di la circunfirenza ${\displaystyle c}$ uguali a ${\displaystyle 2\pi r}$ e lu raggiu longu ${\displaystyle r}$, l'angulu di nu cerchiu eni uguali a ${\displaystyle 2\pi }$.

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi .}$

Ricurdannu ca la misura di la lunchizza di la circunfirenza eni:

${\displaystyle c=2\pi r,}$

Si pò scriviri a seguenti prupurzioni:

${\displaystyle {\frac {\alpha ^{(\circ )}}{l}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi r}},}$

${\displaystyle \alpha }$ arrìsulta funzioni di ${\displaystyle l}$:

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}=f\left(l\right),}$

Ossia:

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {360^{\circ }\cdot l}{2\pi r}},}$

Da cui:

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {l}{r}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}}$

Dunque, punnnu ${\displaystyle l=r}$, da l'equazzioni pricirenti si utteni:

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l=r)={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}29578^{\circ }\approx 57^{\circ }\ 17'\ 44{,}8''=1\;{\rm {{rad}.}}}$

Formulamu ùora nu angulu giru 'n radianti:

${\displaystyle 360^{\circ }={\frac {2\pi }{2\pi }}\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=2\pi \;{\rm {{rad}.}}}$

Cu la seguenti prupurzioni si ottènnu i formuli pì passari da radianti a gradi sessagesimali e viciversa:

${\displaystyle {\frac {\alpha ^{(\circ )}}{\alpha ^{\mathrm {rad} }}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}}$

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }}$

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {2\pi }{360^{\circ }}}\cdot \alpha ^{(\circ )}.}$

Utilitati di la scelta dû radianti

A misura dû radianti cunsenti di aviri formuli trigonumetriche assai cchìu facili di chiddi ca si avissìru aduttannu i gradi sessagesimali o avutri unitati di misura di li anguli.

Sustanzialmenti i vantaggi dû radianti dìrivanu da lu fattu ca cu tali unitati si uttèni a semplici esprìssioni;

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$

E da chista si ottènnu assai avutri eleganti identitati dû calculu infinitesimali ca hannu mpurtanti cunsicuenzi pratiche. Tra chisti:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots }$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots }$.

Se si misurassìru li anguli 'n gradi o 'n avutri unitati di misura, formuli comu i pricirinti avissìru a essìri appìsantiti da custanti di cunvìrsioni e da loru putenzi.

Cancìamentu gradi-radianti

Nu radianti eni uguali a ${\displaystyle 180/\pi }$ gradi. Pì cunvirtiri radianti 'n gradi eni quinni sufficenti multiplicari pì ${\displaystyle 180/\pi }$:

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}=\alpha ^{(\mathrm {rad} )}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}.}$

Pì esempiu:

${\displaystyle 1{\mbox{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}2958^{\circ }}$

${\displaystyle 2{,}5{\mbox{ rad}}=2{,}5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143{,}2394^{\circ }}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\mbox{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }.}$

Nta stissa maniera, pì cunvirtiri gradi 'n radianti si multiplicanu pì π/180:

${\displaystyle \alpha ^{(\mathrm {rad} )}=\alpha ^{(\circ )}\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}.}$

Pì esempiu:

${\displaystyle 1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}0175{\mbox{ rad}}}$

${\displaystyle 23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}4014{\mbox{ rad}}}$

gradi radianti 0 0 15 π /12 30 π /6 45 π /4 60 π /3 90 π /2 120 2/3 π 135 3/4 π 150 5/6 π

gradi radianti 180 π 210 7/6 π 225 5/4 π 240 4/3 π 270 3/2 π 300 5/3 π 315 7/4 π 330 11/6 π 360 2π

Si avi quinni:

1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secunni

1 gradu = 0,01745 32925 19943 rad;

1 primu = 0,00029 08882 08666 rad

1 secunnu = 0,00000 48481 36811 rad

Talìa puru

• Gradu d'arcu
• Gradu cintesimali
• Angulu
• Pi grecu
• Steradianti
• Millesimu di radianti