Descartesov teorem

Descartesov teorem govori o odnosu četiri kružnica koje se međusobno dodiruju, ali se ne sijeku. Teorem se može upotrijebiti za izračun četvrte kružnice od tri zadane.

Izraz teorema

Za četiri kružnice radijusa r_i (i=1,...,4) definirana je zakrivljenost k relacijom k_i=1/r_i. Ako se kružnice dodiruju tada se njihove zakrivljenosti odnose kao:

${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}).}$

Iz toga slijedi da je zakrivljenost četvrtog kruga:

${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}.}$

Pojava ± znaka upućuje na činjenicu da postoje dva riješenja: jedno je kružnica koja poisuje sve tri zadane kružnice, a drugo je kružnica koja se nalazi unutar njih.

Povezano

• Apolonijeva mreža