Rješavanje trougla

Rješavanje trougla znači nalaženje preostalih uglova i stranica kada je dat minimum podataka. Osnovni elementi trougla su tri ugla i tri stranice, a minimum podataka, čine tri od tih osnovnih elementa, od kojih je najmanje jedan stranica. Naime, kada znamo dva ugla trougla tada možemo smatrati da znamo i treći, jer je zbir uglova u trouglu uvijek isti, 180^o. Međutim, trougao nije određen samo svojim osnovnim elementima. Ovo je glavni trigonometrijski problem. Moguće je konstruisati trougao ako je zadana težišnica i dvije stranice, ili stranica, visina i ugao, itd.

Glavni teoremi

Kosinusna teorema

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$

Sinusna teorema

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$

Zbir uglova trougla

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$

Tangensni teorem

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}}={\frac {\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}$

Oštrougli trougao

Oštrougli trougao ima sva tri ugla manja od pravog ugla (90^o ). Pri rješavanju oštrouglog trougla moguća su sljedeća četiri slučaja:^[1][2]

1. date su tri strane (SSS);
2. date su dve stranice i ugao između njih (SUS);
3. data je stranica i dva nalegla ugla (USU);
4. date su dvije stranice i ugao naspram veće od njih (SSU).

To su isti uslovi koji definišu podudarnost trouglova. Razmotrićemo svaki od ovih primjera.

Date su 3 stranice trougla

Date su tri stranice a , b , c trougla. Naći njegove uglove.^[3]

I način

Kosinusna teorema ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}$ daje ugao A, jer je ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}$

Sinusna teorema ${\displaystyle a:\sin \alpha =b:\sin \beta }$ daje ugao ${\displaystyle \beta }$ , jer je ${\displaystyle \sin \beta ={\frac {b\sin \alpha }{a}}.}$

Treći ugao C možemo naći kao suplementni ugao prethodna dva ${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta )}$ .

II način

Iz poluobima ${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}},razlika<math>p-a,\;p-b,\;p-c,}$ i tangensne teoreme imaćemo

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}}.}$

Ovaj zadatak ima jedinstveno rješenje jedino ako su zbirovi po dvije od datih stranica trougla veći od treće stranice, tj. ${\displaystyle a+b>c,b+c>a,c+a>b}$.

Date su 2 stranice i ugao između njih

Date su 2 stranice trougla ${\displaystyle a,b(a>b)}$ i ugao ${\displaystyle \gamma }$. Naći stranicu с i uglove ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$.^[4]

Kosinusna teorema daje stranicu ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}$

Sinusna teorema daće uglove. Iz uslova ${\displaystyle a>b}$ slijedi da je ugao ${\displaystyle \beta }$ oštar, pa prema tome prvo tražimo

${\displaystyle \sin \beta ={\frac {b\sin \gamma }{c}}}$ tj ugao ${\displaystyle \beta }$ pa ugao ${\displaystyle \alpha }$ koji je suplementan uglovima ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, tj. ${\displaystyle \alpha =180^{o}-(\beta +\gamma )}$.

Jednistveno rješenje je ako je ${\displaystyle \gamma <180^{o}}$.

Data je stranica i 2 ugla koja leže na njoj

Data je stranica a i uglovi \beta i \gamma. Naći stranice b, c i ugao \alpha. ^[5]

Prvo nalazimo ugao ${\displaystyle \alpha =180^{o}-(\beta +\gamma )}$.

Sinusna teorema daje: ${\displaystyle b={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}},\;c={\frac {a\sin \gamma }{\sin \alpha }}$}.

Za ${\displaystyle a>b}$ je ${\displaystyle a>b\sin \alpha }$ pa je ${\displaystyle \sin \beta ={\frac {b\sin \alpha }{a}}<1.}$

Postojijedinstveno rješenje, jer je ugao ${\displaystyle \beta }$ oštar nezavisno od toga kakav je ugao ${\displaystyle \alpha }$.

Kada je ${\displaystyle a<b}$ tada je ${\displaystyle A<B}$. Trougao je pravougli, ili, ako je ${\displaystyle b\sin \alpha <a}$, postoje dva rješenja, jer se mogu dobiti dvije vrijednosti za ugao\beta, oštar i tup ugao.

${\displaystyle b\sin \alpha >a}$ tj. ${\displaystyle \sin \beta >1}$ , nema rješenja.

Kada je ${\displaystyle a=b}$ tada je ${\displaystyle \alpha <90^{o}}$ i ${\displaystyle B<90^{o}}$. Postoji jedinstveno rešenje.