Podmnožina

Podmnožina množiny ${\displaystyle A}$ je taká množina ${\displaystyle B}$, že všetky prvky množiny ${\displaystyle B}$ sú zároveň prvkami množiny ${\displaystyle A}$. To, že ${\displaystyle B}$ je podmnožinou ${\displaystyle A}$ sa symbolicky zapisuje

${\displaystyle B\subseteq A}$.

B je podmnožina A, A je nadmnožina B

Podmnožina ${\displaystyle A}$ množiny ${\displaystyle B}$ je vlastná podmnožina, ak existuje aspoň jedno ${\displaystyle x}$ v množine ${\displaystyle B}$ také, že ${\displaystyle x\notin A}$. To, že ${\displaystyle A}$ je vlastná podmnožina množiny ${\displaystyle B}$, sa zapisuje

${\displaystyle A\subset B}$.

Ak sa pracuje s podmnožinami nejakej pevne zvolenej základnej množiny ${\displaystyle U}$, je vzťah "byť podmnožinou" binárna relácia na systéme všetkých podmnožín ${\displaystyle U}$. Táto relácia sa nazýva relácia inklúzie alebo jednoducho inklúzia. Vzťahu "byť vlastnou podmnožinou" sa hovorí relácia ostrej inklúzie alebo jednoducho ostrá inklúzia.

Vlastnosti

• prázdna množina je podmnožinou každej množiny.
• každá množina je svojou podmnožinou. Čiže inklúzia je reflexívna relácia.
• ak ${\displaystyle A\subseteq B}$ a ${\displaystyle B\subseteq A}$, tak ${\displaystyle \textstyle A=B}$. Čiže, inklúzia je antisymetrická relácia.
• ak ${\displaystyle A\subseteq B}$ a ${\displaystyle B\subseteq C}$, tak ${\displaystyle A\subseteq C}$. Čiže, inklúzia je tranzitívna relácia.
• Z predchádzajúcich troch bodov vyplýva, že inklúzia je relácia usporiadania.
• ak ${\displaystyle A\subseteq B}$, tak ${\displaystyle A\cap B=A}$.
• ${\displaystyle N\subset Z\subset Q\subset R\subset C}$

Externé odkazy

• Podmnožina na pohodovamatematika.sk