Relácia identity

Relácia identity (iné názvy: identická relácia, identické zobrazenie, identita, relácia rovnosti, vzťah rovnosti, diagonála) na množine ${\displaystyle A}$ je binárna relácia, ktorá dáva každý prvok množiny ${\displaystyle A}$ do vzťahu iba a len so sebou samým. Identita na ${\displaystyle A}$ je teda množina

${\displaystyle \{\,(x,x)\,|\,x\in A\}}$.

Keďže identická relácia dáva každý prvok množiny ${\displaystyle A}$ do vzťahu s nanajvýš jedným iným prvkom množiny ${\displaystyle A}$, konkrétne so sebou samým, je to súčasne zobrazenie. Pojem identické zobrazenie alebo identická funkcia sa používa vtedy, ak treba zdôrazniť, že sa v konkrétnom kontexte identita chápe ako zobrazenie. Pre identitu ako reláciu sa najčastejšie používa symbol ${\displaystyle =}$, identita na ${\displaystyle A}$ ako zobrazenie sa označuje znakom ${\displaystyle \textstyle \mathrm {Id} _{A}}$.

Vlastnosti

• Identitická relácia na ${\displaystyle A}$ je permutácia a dokonca involutívna. V permutačnej grupe množiny ${\displaystyle A}$ zohráva úlohu neutrálneho prvku.
• Identická relácia na ${\displaystyle A}$ je najmenšia ekvivalencia na ${\displaystyle A}$ vzľadom k inklúzii.
• Identická relácia je príkladom relácie, ktorá je súčasne symetrická aj antisymetrická.