Symetrická diferencia - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Symetrická diferencia.

Symetrická diferencia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie

Vennov diagram pre 
  
    
      
        A
        △
        B
      
    
    {\displaystyle A\triangle B}
  
. Symetrická diferencia množín je  zjednotenie množín bez ich prieniku.  
  
    
      
         
        ∖
         
      
    
    {\displaystyle ~\setminus ~}
  
  
  
    
      
         
        =
         
      
    
    {\displaystyle ~=~}
Vennov diagram pre .
Symetrická diferencia množín je
zjednotenie množín bez ich prieniku.
Venn0111.svg Venn0001.svg Venn0110.svg
Vennov diagram pre 
  
    
      
        A
        △
        B
        △
        C
      
    
    {\displaystyle A\triangle B\triangle C}
  
  
  
    
      
         
        △
         
      
    
    {\displaystyle ~\triangle ~}
  
  
  
    
      
         
        =
         
      
    
    {\displaystyle ~=~}
Vennov diagram pre

Venn 0110 0110.svg Venn 0000 1111.svg Venn 0110 1001.svg

Symetrická diferencia alebo symetrický rozdiel dvoch množín je v teórii množín množina tých prvkov, ktoré patria práve do jednej z množín. Obsahuje teda všetky prvky z oboch množín, ktoré sa nenachádzajú v ich prieniku.[1]

Symetrická diferencia množín A a B sa značí ako

[1]

alebo

 [chýba zdroj]

alebo

 [chýba zdroj]

Napríklad symetrická diferencia množín a je množina . Symetrická diferencia množín dievčat a študentov je množina všetkých dievčat, ktoré nie sú študentky a všetkých chlapcov študentov.

Vlastnosti

Symetrická diferencia je ekvivalentná so zjednotením oboch rozdielov množín:

[1]

a môže byť tiež vyjadrená ako zjednotenie dvoch množín bez ich prieniku:

[2]

alebo cez prvky pomocou logickej operácie XOR:

[1]

Z definície vyplýva, že symetrická diferencia je vždy (vlastnou alebo nevlastnou) podmnožinou zjednotenia množín:

pričom rovnosť v tejto neostrej inklúzii platí vtedy a len vtedy, ak a sú disjunktné množiny.

Symetrická diferencia je komutatívna a asociatívna:

[1]

Prienik je distributívny nad symetrickou diferenciou:

[2]

Prázdna množina je neutrálnym prvkom symetrickej diferencie a každá množina je svojím vlastným inverzným prvkom vzhľadom na symetrickú diferenciu:

[1]

Potenčná množina každej množiny sa teda stáva abelovskou grupou so symetrickou diferenciou ako operáciou a prázdnou množinou ako neutrálnym prvkom, kde neutrálny prvok a každý ďalší prvok grupy je svojím vlastným inverzným prvkom.[2]

Referencie

  1. a b c d e f SLEZIAK, Martin. 2-UMA-115 Teória množín [online]. Bratislava : Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK, 2011-11-16, [cit. 2018-07-22]. S. 27 – 29. Dostupné online.
  2. a b c Symmetric difference [online]. PlanetMath, [cit. 2018-07-23]. Dostupné online.

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Symetrická diference na českej Wikipédii.


{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Symetrická diferencia
Listen to this article