Hilbertov priestor

Hilbertovský priestor je vektorový priestor so skalárnym súčinom, ktorý je navyše úplný vzhľadom na metriku týmto skalárnym súčinom indukovanej.

Príklady

• Priestor usporiadaných reálnych ${\displaystyle n}$-tíc ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ spolu so štandardným skalárnym súčinom ${\displaystyle \textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}$ je Hilbertov priestor

• Vo funkcionálnej analýze sa študujú príklady nekonečne generovaných Hilbertových priestorov. Napríklad priestor ${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )=\left\{\mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{i\in \mathbb {N} }|x(i)|^{2}<\infty \right\}}$ všetkých kvadraticky sumovateľných komplexných postupností spolu s vnútorným súčinom ${\displaystyle \textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{i\in \mathbf {N} }{\overline {x(i)}}y(i)}$.

Časté nedorozumenia

Nie je pravda, že Hilbertove priestory sú nutne nekonečne generované. Táto mylná predstava o obsahu pojmu Hilbertov priestor je však mimoriadne častá a to hlavne v komunite fyzikov. Je totiž pravda, že fyzikálne zaujímavé sú práve rôzne lineárne priestory funkcií ktoré konečne generované nie sú.

Pozri aj

• Unitárny priestor