Rad (matematika)

V matematike je (nekonečný) rad postupnosť, ktorej n-tý člen predstavuje súčet prvých n členov danej postupnosti ${\displaystyle a_{n}}$. Tento súčet sa označuje ako čiastočný (parciálny) súčet postupnosti ${\displaystyle a_{n}}$.

Ak sú členy daného (nekonečného) radu čísla, potom sa takýto rad nazýva číselným radom (alebo taktiež rad s konštantnými členmi). Ak n-tý prvok radu závisí nielen na svojom poradovom čísle ${\displaystyle n}$, ale tiež na ďalších parametroch, potom takýto (nekonečný) rad označujeme ako funkčný prípadne tiež funkcionálny rad. Funkčný rad získame z postupnosti funkcií ${\displaystyle f_{n}(x)}$.

Neformálne sa ako (nekonečný) rad často označuje nekonečný súčet postupnosti ${\displaystyle a_{n}}$, ktorý sa symbolicky zapisuje ako:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

V prípade postupnosti funkcií nahradzujeme ${\displaystyle a_{n}}$ symbolom ${\displaystyle f_{n}(x)}$.

Súčet radu (definícia ad a)

Pre postupnosť ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$ definujeme tzv. k-tý čiastočný súčet ako ${\displaystyle s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}}$, teda (konečný) súčet prvých k prvkov postupnosti. Pomocou neho je definovaný súčet nekonečného radu ako ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}}$, čiže limita postupnosti čiastočných súčtov.

Podľa (ne-)existencie tejto limity sa rady delia na:

• konvergentné - u nich limita existuje a rovná sa nejakému konečnému číslu, napríklad ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$
• divergentné - limita neexistuje (napr. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$ - postupnosť čiastočných súčtov je oscilujúca) alebo sa rovná ${\displaystyle \pm \infty \;}$, napr. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty }$