Vlastné vektory a vlastné hodnoty

Vlastné vektory a vlastné hodnoty (alebo vlastné čísla) sú matematické pojmy používané v lineárnej algebre, ktoré charakterizujú špecifické vektory, ktoré pri pôsobení lineárnej transformácie nemenia svoj smer, no môžu zmeniť orientáciu alebo veľkosť. Matematicky to možno zapísať ako

${\displaystyle T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$ ^[1]

Pri tejto lineárnej transformácií červená šípka zmení smer, ale modrá šípka nie. Modrá šípka je teda vlastný vektor tejto lineárnej transformácie, pretože nemení smer, a keďže dĺžka tohto vektora zostáva nezmenená, jej vlastná hodnota je 1

kde ${\displaystyle T}$ je nejaká lineárna transformácia, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ je vlastný vektor danej lineárnej transformácie a ${\displaystyle \lambda }$ je jeho vlastná hodnota. Znamená to, že po aplikácii lineárnej transformácie je výsledkom operácie ten istý vektor (vlastný vektor) vynásobený nejakým číslom (vlastná hodnota alebo vlastné číslo).

Definícia

Nech ${\displaystyle A}$ je štvorcová matica veľkosti ${\displaystyle n\times n}$ nad poľom ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (alebo ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Nenulový vektor ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$(alebo ${\displaystyle v\in \mathbb {C} ^{n}}$) sa nazýva vlastný vektor matice ${\displaystyle A}$, ak existuje skalár ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ (alebo ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$) pre ktorý platí:

${\textstyle Av=\lambda v}$^[2]

Číslo ${\displaystyle \lambda }$ sa nazýva vlastné číslo matice ${\displaystyle A}$, ktoré prislúcha k vlastnému vektoru ${\displaystyle v}$. Vlastné čísla matice ${\displaystyle A}$ sú riešenia charakteristickej rovnice, ktorá sa získava pomocou determinantu:

${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0}$

kde ${\displaystyle I}$ je jednotková matica veľkosti ${\displaystyle n\times n}$. Po určení vlastných čísel sa k nim hľadajú vlastné vektory riešením homogénnej sústavy lineárnych rovníc:

${\displaystyle (A-\lambda I)v=0}$

Výpočet

Nech ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\4&-1\end{bmatrix}}}$.

Najskôr treba určiť vlastné čísla matice. Vlastné čísla sú riešenia charakteristickej rovnice, ktorá je získaná z rovnice ${\textstyle \det(A-\lambda I)=0}$, t. j.:

${\displaystyle det({\begin{bmatrix}1&2\\4&-1\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}})=0}$

${\displaystyle det({\begin{bmatrix}1&2\\4&-1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{bmatrix}})=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}(1-\lambda )&2\\4&(-1-\lambda )\end{vmatrix}}=0}$

${\displaystyle (1-\lambda )(-1-\lambda )-8=0}$

${\displaystyle \lambda ^{2}-9=0}$

Charakteristický polynóm matice ${\displaystyle A}$ teda bude ${\displaystyle \lambda ^{2}-9}$, a riešením charakteristickej rovnice sú vlastné čísla ${\displaystyle \lambda _{1}=3;\lambda _{2}=-3}$.

Následne možno vypočítať vlastný vektor. Pre vlastné číslo ${\displaystyle \lambda _{1}=3}$ potom platí:

${\displaystyle {\biggl (}{\begin{bmatrix}1&2\\4&-1\end{bmatrix}}-3\times {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\biggr )}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=0}$

${\displaystyle {\biggl (}{\begin{bmatrix}1&2\\4&-1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}}{\biggr )}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=0}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&2\\4&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=0}$

Z tejto sústavy získame dve rovnice:

${\displaystyle {\begin{cases}-2x+2y=0\\4x-4y=0\end{cases}}}$

Tieto rovnice sú lineárne závislé, takže postačuje riešiť jednu z nich:

${\displaystyle -2x+2y=0\implies y=x}$

Vlastné vektory teda majú tvar

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=x\times {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}};x\in \mathbb {R} \backslash \lbrace 0\rbrace }$

Vlastný vektor pre ${\displaystyle \lambda _{1}=3}$ môže teda byť napríkad vektor ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}}^{T}}$. Obdobné riešenie potom možno použiť i pre druhú vlastnú hodnotu.