Kolobar (algebra)
From Wikipedia, the free encyclopedia
From Wikipedia, the free encyclopedia
Kolobar je v abstraktni algebri ime za algebrsko strukturo, v kateri je možno brez omejitev seštevati, odštevati in množiti, pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici celih števil. Kolobar je torej neke vrste posplošitev množice celih števil.
Kolobar je množica K skupaj z dvema računskima operacijama, ki ju zaradi preprostosti imenujemo seštevanje in množenje in ju označujemo z znakoma + (plus) in · (krat). Za računski operaciji + in · morajo veljati spodaj navedene značilnosti. Odštevanje definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti in za to operacijo ne zahtevamo dodatnih značilnosti: a − b = a + (−b).
Tako opremljeno množico označimo kot (K, +, ·)
Kolobar je množica (K, +, ·) v kateri velja:
Kolobar je množica (K, +, ·) v kateri velja (za poljubne elemente a, b, c):
Če je poleg teh treh značilnosti (K, ·) komutativna polgrupa, imenujemo (K, +, ·) komutativni kolobar (tudi Abelov kolobar).
Če ima (K, ·) enoto (nevtralni element za množenje), je (K, +, ·) kolobar z enoto ali unitalni kolobar.
Če je (K\{0}, ·) grupa (tj. če za vsak element razen 0 obstaja inverzni element za množenje), potem kolobar (K, +, ·) imenujemo obseg.
Če je (K\{0}, ·) celo Abelova grupa (tj. velja poleg zgoraj navedenega še komutativnost za množenje), kolobar (K, +, ·) imenujemo komutativni obseg (tudi polje).
Nekatere značilnosti, ki veljajo v vsakem kolobarju:
Množica celih števil z operacijama seštevanja in množenja (Z, +, ·) je komutativni kolobar z enoto, ni pa obseg, saj v splošnem nimamo inverza za množenje.
Množica racionalnih števil z operacijama seštevanja in množenja (Q, +, ·) je komutativni kolobar z enoto in je celo obseg. Isto velja za množico realnih števil, pa tudi za množico kompleksnih števil.
Tudi množica polinomov z operacijama seštevanja in množenja je komutativni kolobar z enoto, ni pa obseg.
Množica matrik dimenzije n×n je zgled za nekomutativni kolobar (za običajno seštevanje in množenje matrik). Tudi ta kolobar ni obseg.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.