Cartanova matrika

Cartanova matrika je v matematiki kvadratna matrika, ki ima celoštevilske elemente (glej definicijo).

Imenuje se po francoskem matematiku Élieju Josephu Cartanu (1869–1951). Cartanove matrike je v okviru Liejevih algeber prvi proučeval nemški matematik Wilhelm Karl Joseph Killing (1847–1923).

Definicija

Posplošena Cartanova matrika je kvadratna matrika ${\displaystyle A=(a_{ij})\!\,}$ z elementi, ki so cela števila tako, da je:

• diagonalni elementi so enaki ${\displaystyle a_{ii}=2\!\,}$
• nediagonalni elementi imajo vrednosti ${\displaystyle a_{ij}\leq 0\!\,}$
• elementi ${\displaystyle a_{ij}=0\!\,}$ samo, če in samo če je ${\displaystyle a_{ji}=0\!\,}$
• matriko ${\displaystyle A\!\,}$ se lahko razčleni kot ${\displaystyle DS\!\,}$, kjer je ${\displaystyle D\!\,}$ diagonalna matrika in ${\displaystyle S\!\,}$ simetrična matrika.

Značilnosti

Vedno se lahko izbere matriko ${\displaystyle D\!\,}$ tako, da imajo diagonalni elementi pozitivne vrednosti. V tem primeru se matrikab${\displaystyle A\!\,}$ imenuje Cartanova matrika, če je v zgornji razčlembi matrika ${\displaystyle S\!\,}$ pozitivno definitna.

Cartanova matrika v enostavni Liejevi algebri je matrika katere elementi so skalarni produkti:

${\displaystyle a_{ij}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle r_{i}\!\,}$ enostavni koren algebre

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Cartan Matrix«. MathWorld (v angleščini).
• Cartanova matrika Arhivirano 2010-06-20 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
• Razširjena Cartanova matrika (angleško)
• Cartanova matrika (angleško)