Cliffordov torus

Cliffordov torus je v geometrijski topologiji posebna vrsta torusa, ki se nahaja v prostoru R⁴. Lahko ga obravnavamo kot torus, ki se nahaja v C² ker je C² topološko enak kot R⁴. Razen tega vsaka točka Cliffordovega torusa leži na stalni razdalji od izhodišča. Zaradi tega lahko smatramo, da leži znotraj 3 sfere.

Stereografska projekcija Cliffordovega torusa, ki izvaja enostavno vrtenje.

Cliffordov torus je znan tudi kot kvadratni torus, ker je izometričen s kvadratom, ki ima dolžino stranice enako 2π.

Definicija

enotsko krožnico S¹ v R² lahko parametriziramo s kotnimi koordinatami

${\displaystyle S^{1}=\{(\cos {\theta },\sin {\theta })\,|\,0\leq \theta <2\pi \}.}$

V drugi kopiji R² vzamemo kopijo enotske krožnice

${\displaystyle S^{1}=\{(\cos {\phi },\sin {\phi })\,|\,0\leq \phi <2\pi \}}$.

Potem je Cliffordov torus

${\displaystyle S^{1}\times S^{1}=\{(\cos {\theta },\sin {\theta },\cos {\phi },\sin {\phi })\,|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \phi <2\pi \}}$.

Ker pa je vsaka kopija ${\displaystyle S^{1}}$ potopljena podmnogoterost R², je Cliffordov torus potopljeni torus v R² × R² = R⁴.

Kadar je R⁴ podan s koordinatami x₁, y₁, x₂, y₂ je Cliffordov torus dan z

${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\,}$. To pa je štirirazsežna sfera.

Zunanje povezave

• Cliffordov torus na SGP Web Arhivirano 2015-10-30 na Wayback Machine. (angleško)
• Značilnosti Cliffordovega torusa (angleško)