Eulerjeva enačba

Eulerjeva enáčba (tudi Eulerjeva identitéta ali Eulerjev obrazec) [òjlerjeva ~] povezuje pet za matematiko zelo pomembnih števil 0, 1, π, i in e

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\!\,.}$

Gibanje točke na Gaussovi ravnini. Točka se giblje od točke z=1, s hitrostjo iz v časovnem razmiku π. Po gibanju na razdalji 1 prispe v izhodišče 0

Enačbo je zapisal Leonhard Euler.

Splošna oblika Eulerjeve enačbe je:

${\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y\!\,.}$

Ta enačba je del enačbe:

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}\!\,,}$

kjer je z kompleksno število (x + iy).

Eulerjeva enačba kaže na matematično lepoto. Tri osnovne dvočlene aritmetične operacije se pojavijo natanko enkrat: seštevanje, množenje in potenciranje.

Izpeljava

Eulerjeva enačba je posebni primer Eulerjeve formule iz kompleksne analize:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!\,}$

za poljubni realni x. Argumenta za trigonometrični funkciji sinus in kosinus morata biti v radianih. Če je:

${\displaystyle x=\pi \!\,,}$

potem velja posebej:

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \!\,.}$

Ker je:

${\displaystyle \cos \pi =-1\!\,,}$

${\displaystyle \sin \pi =0\!\,,}$

sledi:

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\!\,.}$

Posplošitev

Eulerjeva enačba je poseben primer splošnejše enačbe, da je vsota vseh n-tih korenov enote, pri n > 1, enaka 0:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0\!\,.}$

Eulerjevo enačbo dobimo z n = 2.