Hessejeva matrika

Hessejeva matrika (oznaka ${\displaystyle H\!\,}$) (tudi hesian) je kvadratna matrika, ki jo sestavljajo drugi parcialni odvodi neke funkcije.

Imenuje se po nemškem matematiku Ludwigu Ottu Hesseju (1811–1874), ki jo je raziskoval v 19. stoletju. Pozneje so jo poimenovali po njem.

Definicija

Za realno funkcijo

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\,}$

za katero obstajajo parcialni odvodi je Hessejeva matrika enaka

${\displaystyle H(f)_{ij}(x)=D_{i}D_{j}f(x)\,}$

kjer je

• ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\,}$
• ${\displaystyle D_{i}\,}$ operator odvajanja

Hessejeva matrika je tako

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}\,}$

Značilnosti

Jacobijeva matrika gradienta funkcije ${\displaystyle f\,}$ je enaka Hessejevi matriki, kar se lahko napiše kot:

${\displaystyle H(x)=J(\nabla f)\,}$.

V Hessejevi matriki mešani odvodi funkcije ${\displaystyle f\!\,}$ ležijo zunaj glavne diagonale. Ker pa zaporedje odvajanja ni pomembno, se lahko zapiše tudi:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right).}$

oziroma:

${\displaystyle f_{yx}=f_{xy}.\,}$.

To pomeni, da je v primerih, ko je ${\displaystyle f\,}$ zvezna v okolici točke ${\displaystyle D\,}$ Hessejeva matrika simetrična.

Če je gradient funkcije ${\displaystyle f\,}$ v neki točki ${\displaystyle x\,}$ enak 0, potem tej točki pravimo kritična ali stacionarna točka. Determinanta Hessejeve matrike se v tem primeru imenuje diskriminanta.

Omejena Hessejeva matrika

Omejena Hessejeva matrika se uporablja v nekaterih optimizacijskih problemih. Naj bo dana funkcija

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$,

dodamo ji omejitveno funkcijo

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=c,}$.

V tem primeru se za Hessejevo matriko dobi

${\displaystyle H(f,g)={\begin{bmatrix}0&{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}\\\\{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\\\{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}}$.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Hessian«. MathWorld (v angleščini).
• Hessova matrika Arhivirano 2010-03-30 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
• Hessejeva matrika Arhivirano 2020-11-28 na Wayback Machine. (angleško)