Obseg

Obseg je v geometriji dolžina zaprte krivulje, po navadi dvorazsežne ravninske krivulje. Največkrat se govori o obsegu pri geometrijskih likih, čeprav pridejo v poštev tudi druge krivulje, kroga, srčnica. V takšnih primerih se še posebej obravnava dolžina loka krivulje.

Za druge pomene glej obseg (razločitev).

Mnogokotniki

Obseg mnogokotnika je vsota dolžin vseh njegovih stranic.

Obseg trikotnika s stranicami dolžin a, b in c je:

${\displaystyle o=a+b+c\,\!.}$

Obseg štirikotnika s stranicami dolžin a, b, c in d je:

${\displaystyle o=a+b+c+d\,\!.}$

Obseg enakokrakega trikotnika z osnovnico dolžine b in krakoma dolžine a ter pravokotnika s stranicama dolžin a in b je:

${\displaystyle o=2a+b\,\!,}$

${\displaystyle o=2(a+b)\,\!.}$

Obseg pravilnega mnogokotnika z n stranicami dolžine a je:

${\displaystyle o=na\,\!.}$

Obseg enakostraničnega trikotnika in kvadrata s stranicami dolžine a je tako:

${\displaystyle o=3a\,\!,}$

${\displaystyle o=4a\,\!.}$

Krožnica

Obseg krožnice je dan z njenim premerom d ali s polmerom r:

${\displaystyle o=\pi d=2\pi r\,\!,}$

oziroma s ploščino kroga S:

${\displaystyle o=2{\sqrt {\pi S}}\approx 3,544908{\sqrt {S}}\,\!.}$

Tu je π matematična konstanta pi.

Elipsa

Približki za obseg elipse z glavnima polosema a in b:

${\displaystyle o\approx 2\pi {\sqrt {ab}}\,\!}$ (Kepler, 1609)

${\displaystyle o\approx \pi (a+b)\,\!,}$

${\displaystyle o\approx \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}\,\!}$ (Euler, 1773)

${\displaystyle o\approx \pi \left[{\frac {a+b}{2}}+{\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}\right]\,\!,}$

${\displaystyle o\approx \pi \left[{\frac {3}{2}}(a+b)-{\sqrt {ab}}\right]\,\!}$

ali:

${\displaystyle o\approx \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-{\frac {1}{2}}(a-b)^{2}}}\,\!.}$

Vsak približek je točnejši od predhodnega.

Dobra približka je leta 1914 dal Ramanudžan:

${\displaystyle o\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]=\pi (a+b)\left[3-{\sqrt {4-h}}\right]\,\!,}$

${\displaystyle o\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right]=\pi \left(a+b\right)\left[1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right]\,\!.}$

kjer je h parameter:

${\displaystyle h=\lambda ^{2}\,\!,\qquad \lambda ={\frac {a-b}{a+b}}\,\!.}$

Tudi tukaj je drugi približek točnejši. Malo manj točen približek je med letoma 1904 in 1920 dal Lindner:

${\displaystyle o\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {h}{8}}\right]^{2}\,\!.}$

Obseg elipse s parametrom λ je:

${\displaystyle o=\pi (a+b)\left[1+{\frac {\lambda ^{2}}{4}}+{\frac {\lambda ^{4}}{64}}+{\frac {\lambda ^{6}}{256}}+\cdots \right]=\pi (a+b)\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-2)!}{n!(n-1)!2^{2n-1}}}\right)^{2}\lambda ^{2n}\right]\,\!,}$

oziroma s parametrom h:

${\displaystyle o=\pi (a+b)\left[1+{\frac {h}{4}}+{\frac {h^{2}}{64}}+{\frac {h^{3}}{256}}+{\frac {25h^{4}}{16384}}+{\frac {49h^{5}}{65536}}+\cdots \right]=\pi (a+b)\sum _{n=0}^{\infty }{{1 \over 2} \choose n}^{2}h^{n}\,\!,}$

približek pa (Hudsonova enačba, 1917):

${\displaystyle o\approx \pi (a+b){\frac {64-3h^{2}}{64-16h}}\,\!.}$

Hudsonovo enačbo po navadi pišejo s parametrom L:

${\displaystyle L={\frac {h}{4}}={\frac {(a-b)^{2}}{(2(a+b))^{2}}}\,\!}$

${\displaystyle o\approx {\frac {\pi }{4}}(a+b)\left[3(1+L)+{\frac {1}{1-L}}\right]\,\!.}$

Glej tudi

• obseg (algebra)
• Zemljin polmer (obseg Zemlje)
• obseg (teorija grafov)

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Perimeter«. MathWorld.
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Semiperimeter«. MathWorld.