Podmnožica

Podmnožica ali delna množica množice ${\displaystyle Y}$ je v matematiki množica ${\displaystyle X}$, če so vsi elementi ${\displaystyle X}$ tudi v ${\displaystyle Y}$. Relacijo z matematičnim zapisom zapišemo ${\displaystyle X\subseteq Y}$. Ali drugače, ${\displaystyle X\subseteq Y}$ tedaj in le tedaj, ko ${\displaystyle X}$ ne vsebuje nobenega elementa, ki ni tudi član množice ${\displaystyle Y}$. Množica ${\displaystyle Y}$ v tem primeru se imenuje supermnožica množice ${\displaystyle X}$ in zapišemo ${\displaystyle Y\supseteq X}$.

Podmnožica X⊆Y v Eulerjevem diagramu

Vsaka množica ${\displaystyle Y}$ je sama sebi podmnožica. Podmnožica ${\displaystyle Y}$, ki ni enaka ${\displaystyle Y}$, se imenuje prava. Če je ${\displaystyle X}$ prava podmnožica ${\displaystyle Y}$, potem pišemo ${\displaystyle X\subset Y}$.

${\displaystyle X\subset Y}$ natanko tedaj, ko ${\displaystyle X\subseteq Y\land X\neq Y}$

Različni zapisi

Pri zapisu podmnožic obstajata dva glavna načina. Starejši način uporablja znak ${\displaystyle \subset }$ za podmnožico in ${\displaystyle \subseteq }$ za pravo podmnožico. Novejši način uporablja znak ${\displaystyle \subseteq }$ za podmnožico in ${\displaystyle \subset }$ za pravo podmnožico. Wikipedija uporablja novejši način, ki ga zna zapisati večina spletnih brskalnikov.

Primeri

• Množica {1, 2} je prava podmnožica {1, 2, 3}.

${\displaystyle \{1,2\}\subset \{1,2,3\}}$

• Množica {1, 2} je podmnožica sami sebi {1, 2}.

${\displaystyle \{1,2\}\subseteq \{1,2\}}$

• Množica naravnih števil N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} je prava podmnožica množice racionalnih števil Q.

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4,5,6,\dots \}\subset \mathbb {Q} }$

• Množica P '₂₀₀₀ = {x : x je praštevilo > 2000} je podmnožica množice L '₁₀₀₀ = {x : x je liho število > 1000}

${\displaystyle P_{2000}=\{x\mid x{\text{ je praštevilo}}>2000\}\subset L_{1000}=\{x\mid x{\text{ je liho število}}>1000\}}$

• Vsaka množica A je po definiciji tudi podmnožica same sebe (A), ni pa vsaka tudi sama sebi prava.

${\displaystyle A\subseteq A}$

• Lastna množica A je poljubna podmnožica razen množice A same.

${\displaystyle A\subset X,A\neq X}$

• Prazna množica Ø = {} je prav tako podmnožica vsake poljubne množice X. To je zaradi tega, ker za prazno množico velja nepopolna definicija podmnožice X: ker prazna množica nima elementov, nujno vsebuje nič elementov, ki niso člani množice X. Tako je prazna množica vedno prava podmnožica razen sama sebi.

${\displaystyle \emptyset \subseteq X}$