Projekcija (linearna algebra)

Projekcija je v linearni algebri linearna transformacija ${\displaystyle P\!\,}$ iz vektorskega prostora v samega sebe tako, da je ${\displaystyle P^{2}=P\!\,}$. Projekcija ohranja sliko nespremenjeno.

preslikava ${\displaystyle P\!\,}$ je pravokotna projekcija na premico ${\displaystyle m\!\,}$.

Pravokotna projekcija

Pravokotna ali ortogonalna projekcija točk ${\displaystyle (x,y,z)\!\,}$ iz evklidskega prostora ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\!\,}$ na ravnino ${\displaystyle x-y\!\,}$ se lahko prikaže z matriko:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\!\,.}$

Delovanje te projekcije na poljubno točko se lahko zapiše kot:

${\displaystyle P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\!\,}$.

Preslikava ${\displaystyle T\!\,}$ je projekcija vzdolž ${\displaystyle k\!\,}$ na premico ${\displaystyle m\!\,}$.

Poševna projekcija

Enostaven primer nepravokotne oziroma poševne projekcije točk na premico se lahko opiše z matriko:

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}\!\,.}$

Lahko se pokaže, da je:

${\displaystyle T^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=T\!\,.}$

To pa pomeni, da je ${\displaystyle T\!\,}$ res projekcija.

Projekcija ${\displaystyle T\!\,}$ je pravokotna samo, če in samo če je ${\displaystyle \alpha =0\!\,}$.