Razširjena matrika

Razširjena matrika je v linearni algebri matrika, ki se dobi z dodajanjem stolpcev dani matriki. To se naredi zaradi izvajanja istih elementarnih vrstičnih operacij na obeh matrikah.

Definicija

Za dani matriki ${\displaystyle A\!\,}$ in ${\displaystyle B\!\,}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}}\!\,.}$

se razširjena matrika piše kot:

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right]\!\,.}$

Takšen način pisanja je zelo uporaben pri reševanju sistema linearnih enačb in pri določanju obratnih matrik.

Zgledi

Določanje obratne matrike

Naj je kvadratna matrika z razsežnostjo ${\displaystyle 2\times 2\!\,}$:

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}\!\,.}$

Za določanje obratne matrike je treba narediti razširjeno matriko ${\displaystyle C|I\!\,}$, kjer je ${\displaystyle I\!\,}$ enotska matrika z razsežnostjo ${\displaystyle 2\times 2\!\,}$. Za iskanje obratne matrike ${\displaystyle C^{-1}\!\,}$ je treba v delu, ki pripada delu za ${\displaystyle C\!\,}$, opraviti takšne elementarne operacije, da se na levi strani dobi enotsko matriko:

${\displaystyle (C|I)=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]\!\,.}$

${\displaystyle (I|C^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right]\!\,.}$

Reševanje sistema linearnih enačb

Dane so tri linearne enačbe:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}&=0,\\3x_{1}+4x_{2}+7x_{3}&=2,\\6x_{1}+5x_{2}+9x_{3}&=11\!\,.\end{aligned}}}$

To odgovarja naslednjim matrikam:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}}\!\,.}$

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right]\!\,,}$

ali:

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right]\!\,.}$

To pomeni, da so rešitve zgornjega sistema linearnih enačb:

${\displaystyle x_{1}=4\!\,}$,

${\displaystyle x_{2}=1\!\,}$,

${\displaystyle x_{3}=-2\!\,}$.

Zunanje povezave

• Razširjena matrika na Mathwords (angleško)
• Razširjena matrika na Paul's Online Math Notes (angleško)