Redhefferjeva matrika

Redhefferjeva matrika je kvadratna nesimetrična binarna matrika, ki ima za elemente ${\displaystyle a_{ij}=1\!\,}$, če ${\displaystyle i\!\,}$ deli ${\displaystyle j\!\,}$ ali, če je ${\displaystyle j=1\!\,}$, v ostalih primerih pa je ${\displaystyle a_{ij}=0\!\,}$.

Imenuje se po ameriškem matematiku Raymondu Moosu Redhefferju (1921–2005).

Determinanta

Determinanta Redhefferjeve matrike ${\displaystyle R_{n}\!\,}$ reda ${\displaystyle n\!\,}$ je enaka Mertensovi funkciji ${\displaystyle M(n)\!\,}$.

Zgled

${\displaystyle R_{12}=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1\\1&0&1&0&0&1&0&0&1&0&0&1\\1&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0&1\\1&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]\!\,.}$

Značilnosti

Redheffer je dokazal, da je število lastnih vrednosti Redhefferjeve matrike reda ${\displaystyle n\!\,}$ enakih 1 za ${\displaystyle n>1\!\,}$ enako:

${\displaystyle a(n)=n-\lfloor \operatorname {lb} n\rfloor -1\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle \lfloor \circ \rfloor \!\,}$ funkcija (spodnji) celi del, ${\displaystyle \operatorname {lb} \circ \!\,}$ (označen tudi ${\displaystyle \operatorname {ld} \!\,}$ ali ${\displaystyle \lg \!\,}$) pa dvojiški logaritem. Prve vrednosti enotskih lastnih vrednosti so (OEIS A083058):

1, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, ...

Za enotske lastne vrednosti velja:

${\displaystyle a(n)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1+(-1)^{C_{k}}}{2}},\quad (n>1)\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle C_{k}\!\,}$ ${\displaystyle k\!\,}$-to Catalanovo število.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Redheffer Matrix«. MathWorld.
• Značilnosti Redhefferjeve matrike (angleško)