Versor

Versor je v kvaternionski algebri usmerjeni lok velikega kroga, ki odgovarja kvaternionu z normo enako ena.

Izraz izhaja iz latinske besede versus, kar pomeni obrnjen. Vpeljal ga je irski matematik, fizik in astronom William Rowan Hamilton (1805 – 1865). Izraz je uporabil v svoji teoriji kvaternionov.

Lok AB + lok BC = lok AC

Definicija

Hamilton je označil versor kvaterniona ${\displaystyle q\,}$ z oznako ${\displaystyle Uq\,}$. Na ta način je lahko prikazal kvaternion v polarnih koordinatah v obliki:

${\displaystyle q=TqUq\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle Tq\,}$ tenzor kvaterniona ${\displaystyle q\,}$. Tenzor versorja je vedno enak 1.

Posebno zanimiv je pravi versor, ki mu pripada kot π/2. Te vrste versorji imajo skalarni del enak 0 in so tako enotski vektorji. Pravi versorji v kvaternionski algebri tvorijo kroglo kvadratnih korenov iz -1. Zgledi pravih versorjev v kvaternionski grupi so ${\displaystyle i,j,k\,}$.

Če ima veliki krog dolžino ${\displaystyle a\,}$ in je ${\displaystyle \mathbf {r} }$ pol velikega kroga, potem je versor enak kvaternionu:

${\displaystyle \exp(a\mathbf {r} )=\cos a+\mathbf {r} \sin a\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle \exp(x)\,}$ eksponentna funkcija ${\displaystyle f(x)\,}$ (${\displaystyle f(x)=e^{x}\,}$.

Definicija v linearni algebri, geometriji in fiziki

Na drugih področjih se običajno definira versor kot enotski vektor, ki določa smer usmerjenih osi ali pa usmerjenost nekega drugega vektorja. Zgleda:

• versorji kartezičnega koordinatnega sistema so enotski vektorji v smereh osi tega sistema.
• versor ali normalizirani vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}\,}$ neničelnega vektorja ${\displaystyle u\,}$ je enotski vektor v smeri vektorja ${\displaystyle u\,}$, kar se lahko zapiše kot:

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}={\frac {\boldsymbol {u}}{\|{\boldsymbol {u}}\|}},}$

kjer je:

• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {u}}\|}$ norma (dolžina) vektorja ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$

Hiperbolični versor

Hiperbolični versor ima obliko:

${\displaystyle \exp(ar)=\cosh \ a\ +r\ \sinh \ a\ \ {\text{ kjer je }}\ \ r^{2}=+1\!\,.}$

Glej tudi

• kvaternioni in prostorske rotacije

Zunanje povezave

• Kvaternioni in versor (angleško)
• Versor na biologija on-line (angleško)