Shpërndarja Poisson

Page Stampa:Infobox probability distribution/styles.css has no content.

Shpërndarja Poisson

Probability mass function
Cumulative distribution function
Parameters	${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$ (rate)
Support	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ (Numrat natyrorë duke filluar nga  0)
PMF	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor$ !}},} ose ${\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}},}$ ose ${\displaystyle Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}$ (për ${\displaystyle k\geq 0,}$ ku ${\displaystyle \Gamma (x,y)}$ është funksioni gama i paplotë i sipërm, ${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$ është funksioni dysheme, dhe ${\displaystyle Q}$ është funksioni gama i rregullarizuar)
Mean	${\displaystyle \lambda }$
Median	${\displaystyle \approx \left\lfloor \lambda +{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{50\lambda }}\right\rfloor }$
Mode	${\displaystyle \left\lceil \lambda \right\rceil -1,\left\lfloor \lambda \right\rfloor }$
Variance	${\displaystyle \lambda }$
Skewness	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}}$
Excess kurtosis	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$
Entropy	${\displaystyle \lambda {\Bigl [}1-\log(\lambda ){\Bigr ]}+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}}$   ose për ${\displaystyle \lambda }$ të mëdha   ${\displaystyle {\begin{aligned}\approx {\frac {1}{2}}\log \left(2\pi e\lambda \right)-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}\\-{\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\end{aligned}}}$
MGF	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(e^{t}-1\right)\right]}$
CF	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(e^{it}-1\right)\right]}$
Fisher information	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja Poisson ose Puason është një shpërndarje diskrete probabiliteti që shpreh probabilitetin që një numër i caktuar ngjarjesh të ndodhin në një interval të caktuar kohe ose hapësire nëse këto ngjarje ndodhin me një normë mesatare të njohur konstante dhe pavarësisht kohës që nga ngjarja e fundit. Është emëruar sipas matematikanit francez Siméon Denis Poisson ( shqiptimi frëngjisht: [pwasɔ̃] ). Shpërndarja Puason mund të përdoret gjithashtu për numrin e ngjarjeve në lloje të tjera të intervalit të specifikuar si largësia, sipërfaqja ose vëllimi. Ai luan një rol të rëndësishëm për shpërndarjet diskrete-të qëndrueshme .

Për shembull, një qendër thirrjesh merr mesatarisht 180 thirrje në orë, 24 orë në ditë. Thirrjet janë të pavarura; marrja e njërit nuk e ndryshon probabilitetin se kur do të arrijë tjetri. Numri i thirrjeve të marra gjatë çdo minutë ka një shpërndarje probabiliteti Puason me mesataren 3: numrat më të mundshëm janë 2 dhe 3, por 1 dhe 4 janë gjithashtu të mundshëm dhe ka një probabilitet të vogël që të jetë deri në zero dhe një probabilitet shumë i vogël. mund të jetë 10.

Një shembull tjetër është numri i ngjarjeve të zbërthimit që ndodhin nga një burim radioaktiv gjatë një periudhe të caktuar vëzhgimi.

Historia

Shpërndarja u paraqit për herë të parë nga Siméon Denis Poisson (1781-1840) dhe u botua së bashku me teorinë e tij të probabilitetit në veprën e tij Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (1837). [2] Puna teorizoi për numrin e dënimeve të gabuara në një vend të caktuar duke u fokusuar në disa ndryshore rasti N që numërojnë, ndër të tjera, numrin e dukurive diskrete (ndonjëherë të quajtura "ngjarje" ose "ardhje") që ndodhin gjatë një kohe - intervali i gjatësisë së dhënë. Rezultati ishte dhënë tashmë në 1711 nga Abraham de Moivre në De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus . Kjo e bën atë një shembull të ligjit të Stiglerit dhe ka nxitur disa autorë të argumentojnë se shpërndarja Poisson duhet të mbajë emrin e de Moivre.

Përkufizimet

Funksioni i masës së probabilitetit

Një ndryshore rasti diskrete X thuhet se ka një shpërndarje Poisson, me parametër ${\displaystyle \lambda >0,}$ nëse ka një funksion mase probabiliteti të dhënë nga: [11]

${\displaystyle f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},}$

ku

• k është numri i ndodhive (${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$)
• e është numri i Eulerit (${\displaystyle e=2.71828\ldots }$)
• ! është funksioni faktorial.

Numri real pozitiv λ është i barabartë me vlerën e pritur të X dhe gjithashtu me variancën e tij. ^[1]

${\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).}$

Shpërndarja Poisson mund të aplikohet në sisteme me një numër të madh ngjarjesh të mundshme, secila prej të cilave është e rrallë . Numri i ngjarjeve të tilla që ndodhin gjatë një intervali kohor të caktuar është, në rrethanat e duhura, një numër i rastësishëm me një shpërndarje Poisson.

Ekuacioni mund të përshtatet nëse, në vend të numrit mesatar të ngjarjeve ${\displaystyle \lambda ,}$ na jepet norma mesatare ${\displaystyle r}$ në të cilat ndodhin ngjarjet. Pastaj ${\displaystyle \lambda =rt,}$ dhe: ^[2]

${\displaystyle P(k{\text{ ngjarje ne intervalin }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.}$

Shembull

Çamçakëza në një trotuar. Numri i çimçakizëve në një pllakë të vetme është afërsisht i shpërndarë Poisson.

Shpërndarja Poisson mund të jetë e dobishme për të modeluar ngjarje të tilla si:

• numri i meteoritëve me diametër më të madh se 1 metër që godasin Tokën në një vit;
• numri i fotoneve lazer që godasin një detektor në një interval të caktuar kohor; dhe
• numri i studentëve që kanë arritur një notë të ulët dhe të lartë në një provim.

Supozimet dhe vlefshmëria

Shpërndarja Poisson është një model i përshtatshëm nëse supozimet e mëposhtme janë të vërteta:

• k është numri i herëve që një ngjarje ndodh në një interval dhe k mund të marrë vlerat 0, 1, 2, ... .
• Ndodhja e një ngjarje nuk ndikon tek probabiliteti që një ngjarje e dytë do të ndodhë. Kjo do të thotë, ngjarjet ndodhin në mënyrë të pavarur.
• Shkalla mestare me të cilën ndodh një ngjarje është e pavarur nga çdo ndodhi. Për thjeshtësi, kjo zakonisht merret të jetë konstante, por në praktikë mund të variojë me kohën.
• Dy ngjarje nuk mund të ndodhin në të njëjtin çast kohe; në vënd të kësaj, në çdo nëninterval shumë të vogël, ose ndodh vetëm një ngjarje, ose nuk ndodh asnjë.

Nëse këto kushte janë të vërteta, atëherë k është një ndryshore e rastit Poisson, dhe shpërndarja e k është një shpërndarje Poisson.

Shpërndarja Poisson është gjithashtu kufiri i një shpërndarjeje binomiale, për të cilën probabiliteti i suksesit për çdo provë është i barabartë me λ pjesëtuar me numrin e provave, ndërsa numri i provave i afrohet pafundësisë (shih Shpërndarjet e ngjashme ).

Shembuj të probabilitetit për shpërndarjet Poisson

Në një lum të caktuar, përmbytjet të mëdha ndodhin mesatarisht një herë në 100 vite. Llogarisni probabilitetin që:k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ose 6 përmbytje të mëdha në një interval prej 100  vitesh,duke hamendësuar se një model puason është i përshtatshëm. Sepse shkalla mesatare e ndodhisë është një përmbytje e madhe në 100 vite,λ = 1 ${\displaystyle P(k{\text{ overflow floods in 100 years}})={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}={\frac {1^{k}e^{-1}}{k!}}}$ ${\displaystyle P(k=0{\text{ overflow floods in 100 years}})={\frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={\frac {e^{-1}}{1}}\approx 0.368}$ ${\displaystyle P(k=1{\text{ overflow flood in 100 years}})={\frac {1^{1}e^{-1}}{1!}}={\frac {e^{-1}}{1}}\approx 0.368}$ ${\displaystyle P(k=2{\text{ overflow floods in 100 years}})={\frac {1^{2}e^{-1}}{2!}}={\frac {e^{-1}}{2}}\approx 0.184}$

k P(k përmbytje të mëdha në 100 vite) 0 0.368 1 0.368 2 0.184 3 0.061 4 0.015 5 0.003 6 0.0005 Probabiliteti për 0 deri në 6 përmbytje të mëdha në një periudhë 100 vjeçare.

María Dolores Ugarte dhe kolegët raportojnë se numri mesatar i golave në një ndeshje futbolli të kupës së botës është afërsisht 2.5 dhe modeli Puason është i përshtatshëm. [3]Meqënëse shkalla mesatare e ngjarjes është 2.5 gola për ndeshje, λ = 2.5 . ${\displaystyle P(k{\text{ goals in a match}})={\frac {2.5^{k}e^{-2.5}}{k!}}}$ ${\displaystyle P(k=0{\text{ goals in a match}})={\frac {2.5^{0}e^{-2.5}}{0!}}={\frac {e^{-2.5}}{1}}\approx 0.082}$ ${\displaystyle P(k=1{\text{ goal in a match}})={\frac {2.5^{1}e^{-2.5}}{1!}}={\frac {2.5e^{-2.5}}{1}}\approx 0.205}$ ${\displaystyle P(k=2{\text{ goals in a match}})={\frac {2.5^{2}e^{-2.5}}{2!}}={\frac {6.25e^{-2.5}}{2}}\approx 0.257}$

k P(k gola në një ndeshje të Kupës së Botës në futboll) 0 0.082 1 0.205 2 0.257 3 0.213 4 0.133 5 0.067 6 0.028 7 0.010 Probabiliteti për 0 deri në 7 gola në një ndeshje.

Ngjarjet një herë në interval: Rasti i veçantë i λ = 1 dhe k = 0

Supozoni se astronomët vlerësojnë se meteoritët e mëdhenj (mbi një madhësi të caktuar) godasin tokën mesatarisht një herë në 100 vjet ( λ = 1 ngjarje për 100 vjet), dhe se numri i goditjeve të meteorit ndjek një shpërndarje Poisson. Sa është probabiliteti i goditjes k = 0 meteorit në 100 të ardhshëm vjet?

${\displaystyle P(k={\text{0 meteorë godasin në 100 vitet e ardhshme}})={\frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={\frac {1}{e}}\approx 0.37.}$

Sipas këtyre supozimeve, probabiliteti që asnjë meteor i madh të mos godasë tokën në 100 vjet është afërsisht 0.37. Pjesa e mbetur 1 − 0.37 = 0.63 është probabiliteti i 1, 2, 3 ose më shumë goditjeve të meteoritëve të mëdhenj në 100 të ardhshëm vjet. Në një shembull të mësipërm, një përmbytje ndodhte një herë në 100 vjet (λ = 1). Probabiliteti i mos përmbytjeve në 100 vjet ishte afërsisht 0.37, me të njëjtën llogaritje.

Në përgjithësi, nëse një ngjarje ndodh mesatarisht një herë në interval ( λ = 1), dhe ngjarjet ndjekin një shpërndarje Poisson, pastaj P(0 events in next interval) = 0.37. Përveç kësaj, P(exactly one event in next interval) = 0.37, siç tregohet në tabelën për përmbytjet e tejmbushura.

Shembuj që shkelin supozimet e Poisson

Numri i studentëve që mbërrijnë në bashkimin e studentëve për minutë ka të ngjarë të mos ndjekë një shpërndarje Poisson, sepse norma nuk është konstante (normë e ulët gjatë orës së mësimit, normë e lartë midis orëve të mësimit) dhe ardhjet e studentëve individualë nuk janë të pavarur (studentët priren të vijnë në grupe). Shkalla e mbërritjes jokonstante mund të modelohet si një shpërndarje e përzier Poisson, dhe ardhja e grupeve dhe jo e studentëve individualë si një proces i përbërë Poisson .

Numri i madhësisë tërmeteve të madhësisë 5 në vit në një vend mund të mos ndjekin një shpërndarje Poisson, nëse një tërmet i madh rrit probabilitetin e pasgoditjeve me magnitudë të ngjashme.

Shembujt në të cilët të paktën një ngjarje është e garantuar që nuk ndjek shpërndarjen Poisson; por mund të modelohet duke përdorur një shpërndarje Poisson të prerë zero .

Vetitë

Statistika përshkruese

• Vlera e pritur dhe varianca e një ndryshoreje rasti të shpërndarë nga Poisson janë të dyja të barabarta me λ .
• Koeficienti i variacionit është ${\textstyle \lambda ^{-1/2},}$ ndërsa indeksi i dispersionit është 1.
• Devijimi mesatar absolut rreth mesatares është $${\displaystyle \operatorname {E} [\ |X-\lambda |\ ]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor$$ !}}.}
• Moda e një ndryshoreje të rastit të shpërndarë sipas Poisson me λ jo numër të plotë është e barabartë me ${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor ,}$ i cili është numri i plotë më i madh më i vogël ose i barabartë me λ . Kjo shkruhet edhe si floor ( λ ). Kur λ është një numër i plotë pozitiv, modat janë λ dhe λ − 1.
• Të gjithë mbledhësit e shpërndarjes Poisson janë të barabartë me vlerën e pritur λ . Momenti i n-të faktorial i shpërndarjes Poisson është λ ⁿ .
• Pritja matematike e një procesi Poisson ndonjëherë zbërthehet në produktin e intensitetit dhe ekspozimit (ose më përgjithësisht shprehet si integral i një "funksioni intensiteti" me kalimin e kohës ose hapësirës, ndonjëherë i përshkruar si "ekspozim"). [16]

Mesorja

Kufijtë për mesoren ( ${\displaystyle \nu }$ ) të shpërndarjes janë të njohura dhe të mprehta : [17]$${\displaystyle \lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.}$$

Shumat e ndryshoreve të rastësishme me shpërndarje Poisson

Nëse ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})}$ për ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$ janë të pavarura atëherë ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$ [20] Një e kundërt është teorema e Raikov-it, e cila thotë se nëse shuma e dy ndryshoreve të rastit të pavarura me shpërndarje Poisson, atëherë kështu janë secila prej këtyre dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura. [21] [22]

Entropia maksimale

Është një shpërndarje maksimale e entropisë midis grupit të shpërndarjeve binomiale të përgjithësuara ${\displaystyle B_{n}(\lambda )}$ me mesatare ${\displaystyle \lambda }$ dhe ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, ^[4] ku një shpërndarje binomiale e përgjithësuar përkufizohet si një shpërndarje e shumës së N variablave Bernoulli të pavarura por jo identikisht të shpërndara.

Veti të tjera

• Shpërndarjet Poisson janë shpërndarje probabiliteti pafundësisht të pjesëtueshme .
• Divergjenca e drejtuar Kullback–Leibler e ${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda _{0})}$ nga ${\displaystyle P_{0}=\operatorname {Pois} (\lambda )}$ jepet nga $${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(P\parallel P_{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.}$$
• Nëse ${\displaystyle \lambda \geq 1}$ atëherë është një numër i plotë ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ kënaq ${\displaystyle \Pr(Y\geq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}}$ dhe ${\displaystyle \Pr(Y\leq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}.}$ ^[5]
• Kufijtë për probabilitetet e bishtit të një ndryshoreje rasti Poisson ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ mund të nxirren duke përdorur një argument të kufirit Chernoff . [26] $${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {(e\lambda )^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},{\text{ për }}x>\lambda ,}$$$${\displaystyle P(X\leq x)\leq {\frac {(e\lambda )^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},{\text{ për }}x<\lambda .}$$

Shpërndarjet e ndërlidhura

Gjeneral

Përafrimi Poisson

Supozoni ${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})}$ ku ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1,}$ pastaj ^[6] ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ është i shpërndarë në mënyrë shumënomike ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$ kushtëzuar në ${\displaystyle N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}.}$

Kjo do të thotë [26] , ndër të tjera, atë për çdo funksion jonegativ ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ nëse ${\displaystyle (Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )}$ atëherë shpërndahet në mënyrë shumënomike$${\displaystyle \operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]}$$ku ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} ).}$

Konkluzioni statistikor

Vlerësimi i parametrave

Jepet një zgjedhje prej n vlerash të matura ${\displaystyle k_{i}\in \{0,1,\dots \},}$ për i = 1, ..., n, dëshirojmë të vlerësojmë vlerën e parametrit λ të popullatës Poisson nga e cila është nxjerrë zgjedhja. Vlerësuesi i përgjasisë maksimale është ^[7]

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ .}$