Јединична матрица

Јединична матрица је у линеарној алгебри назив за квадратну матрицу којој су елементи на главној дијагонали јединице, а остали нуле. Ова матрица се још назива идентичном, јер у производу са другим матрицама даје управо њих као резултат множења тј. не мења их. Ова матрица се означава великим латиничним словом а индекс који може и не мора да стоји поред ознаке означава димензију исте. Ознака за матрицу идентичног пресликавања је или само .

${\displaystyle E_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ E_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ E_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Што се такође може дефинисати и Кронекеровом делтом:

${\displaystyle E_{n}=(\delta _{ij})_{i,j\in \{1,\ldots ,n\}}}$,

где је:

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&,i=j\\0&,i\neq j\end{matrix}}\right.\quad {\mbox{sa }}i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$

Алтернативни записи су:

${\displaystyle E_{ij}=\delta _{ij}\!}$

${\displaystyle E=(\delta _{ij})\!}$

Особине

Множење

Једна од битних особина јединичне матрице неког простора је да је она једина за коју важи:

${\displaystyle EA=AE=A,\;A\in K^{n\times n}}$

Штавише, види се да је матрица над простором комутативна тј. није битно да ли се њоме множи слева или здесна. Ово не важи за просторе , где се овом матрицом може множити само слева односно само здесна.

Из ове особине такође следи и:

${\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E\!}$

Пример:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&-2\\1&1&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3&-2\\1&1&3\end{bmatrix}}}$

Детерминанта и инверз

Детерминанта ове матрице је увек 1, док је она сама себи инверзна.

${\displaystyle |E|=1\!}$

${\displaystyle E=E^{-1}\!}$

Друга особина се може доказати на следећи начин:

${\displaystyle EE^{-1}=E\!}$, опште правило које важи за све матрице

${\displaystyle E^{-1}EE^{-1}=E^{-1}E\!}$, множење слева са

${\displaystyle \underbrace {E^{-1}E} _{E}E^{-1}=\underbrace {E^{-1}E} _{E}}$, матрица помножена својим инверзом увек даје

${\displaystyle \underbrace {EE^{-1}} _{E^{-1}}=E}$, матрица помножена јединичном даје саму себе

${\displaystyle E^{-1}=E\!}$, доказ завршен