Бернулијеви полиноми

Бернулијеви полиноми у математици представљају полиноме, који су добили име према Јакобу Бернулију, а сусрећу се приликом изучавања многих специјалних функција, а посебно Риманове зета функције и Хурвицове зета функције.

Општи облик

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}}$, где су ${\displaystyle {n \choose k}}$ — биномни коефицијенти, а ${\displaystyle \ B_{k}}$ — Бернулијеви бројеви.

Или

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{m \choose k}(x+k)^{n}.}$

Генерирајућа функција и чланови

Генерирајућа функција Бернулијевих полинома је:

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Бернулијеви полиноми

Неколико првих Бернулијевих полинома:

${\displaystyle \ B_{0}(x)=1,}$

${\displaystyle B_{1}(x)=x\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle B_{2}(x)=x^{2x+{\frac {1}{6}},}$

${\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,}$

${\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}\frac {1}{30}}x,}$

${\displaystyle B_{5}(x)=x^{5{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}\frac {1}{6}}x,}$

${\displaystyle B_{6}(x)=x^{63x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.}$

Својства

${\displaystyle \ B_{n}(0)=B_{n}}$.

Рачунајући извод генерирајуће функције по x добија се:

${\displaystyle t^{2}\ e^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}}$.

Лева страна разликује се од генерирајуће функције само по t, па је:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}}$.

Из чега се добија

${\displaystyle {\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!}}}$, а онда је

${\displaystyle \ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)}$.

Из последње једначине добија се правило интегрирања Бернулијевих полинома:

${\displaystyle \ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt}$.

${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=1}$ (када је ${\displaystyle n>0}$ )

Следећа сума позната као Фаулхаберова формула даде се приказати помоћу Бернулијевих полинома:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}.}$

Интеграли

${\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(t)\,dt={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}}$

Definite integrals

${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\mbox{ for }}m,n\geq 1}$

Литература