Бретшнајдерова формула

Бретшнајдерова формула се користи у геометрији за одређивање површине четвороугла, и гласи

${\displaystyle P={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}}},}$

Четвороугао

при чему су, a, b, c и d странице четвороугла, s је половина обима четвороугла, а ${\displaystyle \alpha \,}$ и ${\displaystyle \gamma \,}$ наспрамни углови.

Бретшнајдерова формула даје површину четвороугла без обзира да ли је он тетиван или није.

Доказ

Ако се површина четвороугла означи са P, онда важи

${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\text{povrsina }}\triangle BDC+{\text{povrsina }}\triangle ADB\\&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma +{\tfrac {1}{2}}cd\sin \alpha \end{aligned}}}$

Одатле је

${\displaystyle 4P^{2}=(ab)^{2}\sin ^{2}\gamma +(cd)^{2}\sin ^{2}\alpha +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,}$

Према косинусној теореми важи

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma =c^{2}+d^{2}-2cd\cos \alpha ,\,}$

пошто су обе стране израза једнаке квадрату дужине дијагонале BD.

Уколико се сабирци прегрупишу и обе стране квадрирају, једнакост се може записати на следећи начин:

${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}=(ab)^{2}\cos ^{2}\gamma +(cd)^{2}\cos ^{2}\alpha -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .\,}$

Сабирањем добијене једнакости са горњом формулом за ${\displaystyle 4P^{2}}$ добија се

${\displaystyle 4P^{2}+{\tfrac {1}{4}}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}=(ab)^{2}+(cd)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma ).\,}$

После сређивања, биће:

${\displaystyle 16P^{2}=4(a^{2}b^{2}+c^{2}d^{2})-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}-8abcd\cos(\alpha +\gamma ).\,}$

Уколико се први члан збира са десне стране допуни до квадрата бинома, добија се:

${\displaystyle 16P^{2}=4(ab+cd)^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}-8abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )].\,}$

Ако се, затим, растави разлика квадрата са десне стране једнакости и ако се примени формула за половину угла на трећи сабирак, добија се:

${\displaystyle 16P^{2}=[2(ab+cd)-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})][2(ab+cd)+(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})]-16abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}},\,}$

односно

${\displaystyle 16P^{2}=[(a+b)^{2}-(c-d)^{2}][(c+d)^{2}-(a-b)^{2}]-16abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}.\,}$

Претходна једнакост може се записати и овако:

${\displaystyle 16P^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)-16abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}.}$

Узевши у обзир да је полуобим четвороугла

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

добија се

${\displaystyle 16P^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}}$

одакле следи Бретшнајдерова формула.

Повезаност са другим формулама

Бретшнајдерова формула је уопштење формуле Брамагупте за површину тетивног четвороугла, а ова је уопштење Хероновог обрасца који се користи за израчунавање површине троугла.

Спољашње везе

• Бретшнајдерова формула на сајту