Гринова теорема

У физици и математици, Гринова теорема даје однос између криволинијског интеграла око просте затворене криве и двоструког интеграла над области ограниченом са . ^[1]То је специјални дводимензионални случај општије Стоксове теореме, а добила је име по британском научнику Џорџу Грину.

Нека је позитивно оријентисана, део по део глатка, проста затворена крива у равни и нека је област огранична кривом . Ако и имају непрекидне парцијалне изводе на отвореној области која садржи , онда

${\displaystyle \int _{C}L\,dx+M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}$

Некада се црта кружић на симболу за интеграл (${\displaystyle \oint _{C}}$) да се означи да је крива затворена (тада се интеграл назива циркулацијом). За позитивну оријентацију, на овом кругу се може нацртати стрелица у смеру супротном смеру казаљке на сату.

Доказ када је проста област

Ако је проста област чије се границе састоје од кривих , може се демонстрирати Гринова теорема.

Следи доказ теореме за поједностављену област , област типа где су и вертикалне линије. Сличан доказ постоји када је област типа , где су и праве линије.

Ако се може показати да су искази

${\displaystyle \int _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)} }$

и

${\displaystyle \int _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)} }$

тачни, онда се може доказати Гринова теорема у првом случају.

Област типа , на слици десно, дефинисана са:

${\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$

где су и непрекидне функције. Израчунајмо двоструки интеграл из (1):

${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}$	${\displaystyle =\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\right]}$
	${\displaystyle =\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{2}(x)]-L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)} }$

се може записати као унија четири криве: .

Код , користимо параметарске једначине: . Тада

${\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx}$

Код , користимо параметарске једначине: . Тада

${\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx}$

Интеграл над се негира, јер иде у негативном правцу од до , јер је оријентисана позитивно (у смеру супротном смеру казаљке на сату). На и , остаје константно, што значи да

${\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0}$

Стога,

${\displaystyle \int _{C}L\,dx}$	${\displaystyle =\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx}$
	${\displaystyle =-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,dx\qquad \mathrm {(4)} }$

Комбиновањем (3) са (4), добијамо (1). На сличан начин добијамо (2).

Види још

• Стоксова теорема
• Криволинијски интеграл