Гринова теорема
From Wikipedia, the free encyclopedia
Remove ads
У физици и математици, Гринова теорема даје однос између криволинијског интеграла око просте затворене криве и двоструког интеграла над области ограниченом са . [1]То је специјални дводимензионални случај општије Стоксове теореме, а добила је име по британском научнику Џорџу Грину.
Нека је позитивно оријентисана, део по део глатка, проста затворена крива у равни и нека је област огранична кривом . Ако и имају непрекидне парцијалне изводе на отвореној области која садржи , онда
Некада се црта кружић на симболу за интеграл () да се означи да је крива затворена (тада се интеграл назива циркулацијом). За позитивну оријентацију, на овом кругу се може нацртати стрелица у смеру супротном смеру казаљке на сату.
Remove ads
Доказ када је проста област

Следи доказ теореме за поједностављену област , област типа где су и вертикалне линије. Сличан доказ постоји када је област типа , где су и праве линије.
Ако се може показати да су искази
и
тачни, онда се може доказати Гринова теорема у првом случају.
Област типа , на слици десно, дефинисана са:
где су и непрекидне функције. Израчунајмо двоструки интеграл из (1):
се може записати као унија четири криве: .
Код , користимо параметарске једначине: . Тада
Код , користимо параметарске једначине: . Тада
Интеграл над се негира, јер иде у негативном правцу од до , јер је оријентисана позитивно (у смеру супротном смеру казаљке на сату). На и , остаје константно, што значи да
Стога,
Комбиновањем (3) са (4), добијамо (1). На сличан начин добијамо (2).
Remove ads
Види још
Спољашње везе
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads