Дисјункција

У логици и математици, ИЛИ је логички оператор такође познат као дисјункција, може се препознати по знацима V или +. Дисјункција враћа вредност тачно, увек када је један или више његових операнда тачно. Из овог разлога се ова операција зове ИЛИ операција (на енглеском ). На пример, израз А или Б вратиће да је израз тачан ако А има вредност тачно, ако Б има вредност тачно или ако и А и Б имају вредности тачно. У граматици ИЛИ је независни раставни везник.

Венов дијаграм за
${\displaystyle ~A\lor B}$

Венов дијаграм за
${\displaystyle ~A\lor B\lor C}$

Поред дисјункције постоји и Ексклузивна дисјункција. Разликујемо их по томе што, код ексклузивне дисјункције ако су обе вредности тачне решење ће бити нетачно , док ће код дисјункције решење бити тачно.

Обележавање

ИЛИ се обично изражава са уметнутим оператором. У математици и логици, обично је ∨; у електроници, +; и у програмирању, | или .

Дефиниција

Дисјункција је логичка операција над две логичке вредности, обично са вредностима исказа који могу имати вредност тачно или нетачно, и дају нетачну вредност ако и само ако су оба исказа нетачна.

Табела истинитости

Табела истинитости за ${\displaystyle ~A\lor B}$:

УЛАЗ		ИЗЛАЗ
		ИЛИ
⊥	⊥	⊥
⊥	T	T
T	⊥	T
T	T	T

Особине

• Еквивалентност:

${\displaystyle A\lor B}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	B V A
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$

• Асоцијативност:

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle ~~~\lor ~~~}$	${\displaystyle (B\lor C)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$			${\displaystyle (A\lor B)}$	${\displaystyle ~~~\lor ~~~}$	${\displaystyle ~C}$
	${\displaystyle ~~~\lor ~~~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle ~~~\lor ~~~}$

• Дистрибутивност са различитим операцијама, посебно са конјунктивношћу:

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle \lor }$	${\displaystyle (B\land C)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$			${\displaystyle (A\lor B)}$	${\displaystyle \land }$	${\displaystyle (A\lor C)}$
	${\displaystyle \lor }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \land }$

Остало

са еквивалентношћу: ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle (B\leftrightarrow C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (A\lor B)}$ ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle (A\lor C)}$ ${\displaystyle \lor }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$         ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \leftrightarrow }$ са импликацијом: ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle (B\rightarrow C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (A\lor B)}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle (A\lor C)}$ ${\displaystyle \lor }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$         ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \rightarrow }$ са собом: ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle (B\lor C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (A\lor B)}$ ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle (A\lor C)}$ ${\displaystyle \lor }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$         ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \lor }$

• са Идемпотенцијом:

${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle ~\lor ~}$	${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle A~}$
	${\displaystyle ~\lor ~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$

• са Монотоношћу функције:

${\displaystyle A\rightarrow B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$			${\displaystyle (A\lor C)}$	${\displaystyle \rightarrow }$	${\displaystyle (B\lor C)}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \rightarrow }$

• Доказивање ваљаности :

Када су сви искази тачни, цео исказ је тачан.

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle A\lor B}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$
		(to be tested)

• Доказивање неваљаности

Када су сви изрази нетачни, цео исказ је нетачан.

${\displaystyle A\lor B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle A\lor B}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$
(to be tested)

Симбол

Математички симбол за логичку дисјункцију зависи од литературе. Поред речи или, симбол ${\displaystyle \lor }$, који долази од латинске речи за или, се обично користи за дисјункцију. На пример, ${\displaystyle \lor }$ се чита као или . Таква дисјункција је нетачна ако су оба исказа, и , нетачни. У свим другим случајевима је тачна.

Примери дисјункције:

${\displaystyle A\lor B}$

${\displaystyle \neg A\lor B}$

${\displaystyle A\lor \neg B\lor \neg C\lor D\lor \neg E.}$

Дисјункција у програмирању

Оператори који одговарају логичкој дисјункцији постоје у већини програмских језика.

ИЛИ логичка капија

Операције над битовима

Дисјункција се често користи за операције над битовима. Примери:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 1
• 1010 + 1100 = 1110

ИЛИ оператер може да се користи за подешавање битова у битном пољу на 1, дисјункцијом области са константним областима, са релевантним битовима подешеним на 1. На пример, к = к | 0б00000001 ће приморати коначну бит на 1, а остали битови остављајући непромењен.

Логичне операције

Многи језици праве разлику између битовне и логичке дисјункције пружањем два различита оператера, у језицима који користе C, битовна дисјункција врши се са једноцевним (|) а логичка дисјункција са двоцевним (||) операторима.

Логичка дисјункција је обично кратког споја, то јест, ако је први (леви) операнд тачан тада се други (десни) операнд не оцењује. Логичка дисјункција оператора дакле обично представља тачку секвенце.

У паралелном језику, могућ је кратки споја обе стране: процењују се паралелно, и ако се једна заврши са вредношћу тачно, друга се прекида. Овај оператер је зато назван паралелно ИЛИ.

Иако је у већини језика логичка дисјункција боолеан израз и на тај начин може само да има вредност тачно или нетачно, у неким (као што је ЈаваСкипт) оператер логичке дисјункције враћа један од својих операнада: први операнд ако се испостави да је вредност тачна, или други операнд у супротном случају.