Д'Аламберов оператор

Д'Аламберов оператор је диференцијални оператор другог реда. Д'Аламберов оператор је у ствари Лапласов оператор у простору Минковског - . Назван је по француском математичару Жан ле Рон д'Аламберу.

Оператор се често користи у физици електромагнетског поља - таласна једначина светла. Ознака за д'Аламберов оператор је квадрат : ${\displaystyle \Box }$.

Оператор сачињава Лапласов оператор (${\displaystyle \Delta }$) и двоструки извод по времену :

${\displaystyle \Box =\Delta \frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}}$

Ајнштајнов запис

У теорији релативности, користи се запис са Ајнштајновим индексима.

${\displaystyle \partial _{\mu }=\left(\partial _{ct},\nabla \right)=\left(\partial _{ct},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)}$.

где је коваријантни запис,

${\displaystyle \partial ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }=\left(\partial _{ct},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$

Производ је дефинисан као д'Аламберов оператор.

${\displaystyle \Box$ :=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}\Delta }

У различитим координатним системима

Д'Аламберов оператор у сферним координатама:

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\partial u}{\partial \Theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};}$

Д'Аламберов оператор у цилиндричним координатама:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho ^{2}{\frac {\partial u}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};}$

У општим криволинијским координатама:

${\displaystyle \square u\equiv {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\sqrt {-g}}\,g^{\mu \nu }{\frac {\partial u}{\partial x^{\mu }}}\right),}$

где је ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ метрички тензор, а g је детерминанта тога тензора.