Канторов став о равномерној непрекидности

Канторов став даје општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција.

Формулација

Канторов став о равномерној непрекидности функција или Канторова теорема о равномерној непрекидности функција гласи:

Свака функција ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ која је непрекидна на интервалу ${\displaystyle [a,b]}$, равномерно је непрекидна на њему.

Доказ

Део 1:

Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ непрекидна на интервалу ${\displaystyle [a,b]}$ (дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку ${\displaystyle x}$ из тог сегмента постоји нека околина ${\displaystyle U(x)=(x-\delta ,x+\delta )}$ и за све тачке ${\displaystyle x_{1}\in U(x)}$ важи: ${\displaystyle |f(x)-f(x_{1})|<{\frac {\varepsilon }{2}})}$.

Изаберимо 2 тачке, ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in U(x)}$. Тада је:

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq |f(x)-f(x_{1})|+|f(x)-f(x_{2})|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .}$

Део 2:

Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника, ${\displaystyle U'(x)=(x < \\frac { \\delta_i} {2}"}}' id="mwOA">$${\displaystyle |x_{ix'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}}$.

Изаберимо и тачку ${\displaystyle x''}$ из интервала ${\displaystyle [a,b]}$ која се налази у ${\displaystyle \delta }$-околини тачке ${\displaystyle x'}$, тј. ${\displaystyle |x'-x''|<\delta }$. То можемо урадити по дефиницији, зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је ${\displaystyle \delta \leq {\frac {\delta _{i}}{2}}}$, онда је сигурно и ${\displaystyle |x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}}$.

Сада, из ${\displaystyle |x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}}$ и ${\displaystyle |x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}}$ имамо да је:

${\displaystyle |x_{i}-x''|\leq |x'-x_{i}|+|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}+{\frac {\delta _{i}}{2}}=\delta _{i},}$

тј. обе тачке, и ${\displaystyle x'}$ и ${\displaystyle x''}$, припадају ${\displaystyle \delta _{i}}$-околини тачке ${\displaystyle x_{i}}$, односно, обе се налазе унутар неке околине ${\displaystyle (x-\delta _{i},x+\delta _{i})}$, па из Дела 1: имамо да је онда ${\displaystyle |f(x')-f(x'')|<\varepsilon }$, што је и требало доказати.

Напомена

Канторов став у наведеном облику се односи на реалну анализу. Аналогна теорема постоји и у општијем случају, у топологији код метричких простора.

Види још

• Равномерна непрекидност
• Непрекидност
• Борел-Лебегова лема

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.